Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Funktionen in C auf Surjektivität prüfen.

Funktionen in C auf Surjektivität prüfen.

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: bijektiv, injektiv, Komplexe Analysis, surjektiv

AmaruKaze aktiv_icon

15:06 Uhr, 23.11.2010

Wieder einmal komme Ich nicht mehr weiter. Ich bräuchte eine Anleitung wie man Funktionen, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden, auf ihre Surjektivität, Injektivität beziehungsweise Bijektivität untersuchen kann.

f 1 : C \to C, f 1 (z) = (4 + 2 i) \cdot z + i;

f 2 : {z

€

C : z = z + i \cdot y, x > 0, y > 0} \to C, f 2 (z) =

z²;

f 3 : C \to C, f 3 (z) =

z²;

(1)

f 1

ist bijektiv (2)

f 1

ist nicht surjektiv
(3)

f 2

ist injektiv (4)

f 2

ist surjektiv
(5)

f 3

ist nicht surjektiv (6)

f 3

ist surjektiv

Welche der Aussagen sind korrekt?

Ich bin so vorgegangen, dass Ich jedes Mal anstatt

z, (x + i \cdot y)

eingesetzt habe. Das dann ausmultipliziert habe und dann in Re(z) und Im(z) geteilt habe. Dann eine der Gleichungen aufgelöst habe und in die andere eingesetzt habe, was aber zu keinem Ergebnis führte.

Wie macht man sowas richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:04 Uhr, 23.11.2010

(1)

(4 + 2 i) \cdot z_{1} + i = (4 + 3 i) \cdot z_{2} + i

\Rightarrow (4 + 2 i) \cdot z_{1} = (4 + 3 i) \cdot z_{2}

\Rightarrow z_{1} = z_{2},

also ist

f_{1}

injektiv.
Sei

w \in ℂ

. Mit

z := \frac{w - i}{4 + 2 i}

gilt

f_{1} (z) = w,

also ist

f_{1}

surjektiv, insgesamt also bijektiv.

(2)

f_{2} (z_{1}) = f_{2} (z_{2})

\Leftrightarrow z_{1}^{2} = z_{2}^{2}

\Leftrightarrow z_{1}^{2} - z_{2}^{2} = 0

\Leftrightarrow (z_{1} - z_{2}) \cdot (z_{1} + z_{2}) = 0

\Leftrightarrow z_{1} = z_{2} \lor z 1 = - z_{2}

.
Der Fall

z_{2} = - z_{1}

kann jedoch nicht eintreten, denn wenn

z_{1} = x + i y,

dann folgt

z_{2} = - x + (- y) \cdot i

und es kann nicht zugleich

x > 0

und

- x > 0

gelten.
Also folgt

z_{1} = z_{2}, d . h

f_{2}

ist injektiv.
Da es kein

z

gibt mit

f_{2} (z) = 0 (z^{2} = 0 \Rightarrow z = 0),

ist

f_{2}

jedoch nicht surjektiv.

(3)

f_{3}

ist nicht injektiv, denn

f : 3 (- 1) = f_{3} (1) = 1

.
Zur Surjektivität von

f_{3} :

Löse zugegebenen

u, v \in ℝ

die Gleichung

u + i v = {(x + i y)}^{2}

AmaruKaze aktiv_icon

17:17 Uhr, 23.11.2010

Danke für die Antwort,

Ich habe ein paar Fragen, die das ganze etwas tiefer führen.

Warum können bei

1)

unterschiedliche Werte gleich sein oder ist das ein Tippfehler?

Wie beweise Ich sowas generell?

Ist das mathematisch korrekt bewiesen?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

824023

823940

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?