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Funktionen in einer Potenzreihe

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Tags: Potenzreihe, Sonstiges

Benny1186 aktiv_icon

14:22 Uhr, 05.05.2011

Hallo,

habe folgende Aufgaben, die ich nicht verstehe.Vielleicht kann mir da ja jemand helfen?

Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine Potenzreihe um 0.

$f (x) = \frac{1}{x + 3}; f (x) = \frac{1}{x² + 4}; f (x) = \frac{x - 1}{x² + 2}; f (x) = \sin ² (x)$

Gruß Benny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

irena

14:26 Uhr, 05.05.2011

Hallo, hast du schon mal von der taylorreihe gehört?

Benny1186 aktiv_icon

14:25 Uhr, 07.05.2011

Hab mir das mal im Buch angeschaut. Kann mir vielleicht mal jemand eine Aufgabe als Beispiel vorrechnen, damit ich mal einen Ansatz habe? Würde mir hoffentlich weiterhelfen.

Gruß Benny

lepton

15:15 Uhr, 07.05.2011

Wie schon von irena erwähnt worden ist, heisst der Schlüssel hier die Taylorreihe.
Def.:

T_{n} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

Taylorreihe ist die spezielle Form einer allgmeinen Potenzreihe der From

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n},

das heisst also, das für den Entwicklungspkt.

x_{0} = 0

stimmen beide Reihen überein. Was heisst, dass die Koeffzienten

a_{n}

für

n \in ℕ

bei der Taylooreihe mit den aus der allgemeinen Potenzreihe übereinstimmen.

Bsp.:

f (x) = \frac{1}{x + 3}

f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}

f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}

f''' (x) = - \frac{6}{{(x + 3)}^{4}}

.
.
.

f^{n} (x) = {(- 1)}^{n} \frac{n!}{{(x + 3)}^{n + 1}}

Einsetzen in die Taylorreihe und auswerten an der Stelle

x_{0} = 0

\Rightarrow T_{n} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{3^{n + 1}} x^{n}

Bei den anderen Aufgaben analoges Vorgehen.

Benny1186 aktiv_icon

22:38 Uhr, 07.05.2011

Ist dann für $\frac{1}{x² + 4}$ folgendes richtig?

$\frac{1}{x² + 4} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{x³ + 4 ²} \Rightarrow f'' (x) = \frac{2}{x^{4} + 4 ³} \Rightarrow f''' (x) = \frac{6}{x^{5} + 4^{4}} \Rightarrow f n (x) = (- 1)^{n} \frac{n!}{x^{2 + 1} + 4^{n + 1}}$

Und als Lösung:

$\frac{{(- 1)}^{n}}{4^{n + 1}} x^{2 + n}$

Gruß Benny

Bummerang

22:52 Uhr, 07.05.2011

Hallo,

vielleicht solltest Du die Ableitungen besser mit den Ableitungsregeln berechnen als erraten! Das Errarten ist nämlich voll in die Hose gegangen!

michaL aktiv_icon

23:02 Uhr, 07.05.2011

Hallo,

ich würde sogar weiter gehen und sagen: Wer in der Schule die (einfachsten) Ableitungsregeln nicht gelernt hat, sollte sich mit was anderem als Analysis beschäftigen. Muss doch auch jede Menge Studiengänge ohne Mathematik geben!?!

Mfg Michael

Benny1186 aktiv_icon

23:20 Uhr, 07.05.2011

Danke Michael, du bist eine echte Hilfe.

michaL aktiv_icon

23:30 Uhr, 07.05.2011

Hallo,

und dann auch noch von meiner alma mater...

Tut mir leid, für dich keine Hilfe zu sein, aber kennst du denn die Ableitungsregeln? Du hast doch sicher Abitur, oder nicht?
Wenn nicht, dann muss man sich in deiner Lage so etwas gefallen lassen. Wenn doch, wie kommt es dann zu so einem Fehler? Ich frage aus Interesse, immerhin kostet Studieren ja mittlerweile richtig Geld. Da wär ich ganz schön sauer, wenn mir jemand glaubhaft gemacht hätte, ich könne was mit Mathe studieren, wenn ich nicht einmal den Stoff der 10./11. Klasse eines niedersächsischen Gymnasiums drauf hätte.

Ich tu mich auch schwer damit, dir eine konkrete Hilfe zu geben.
Wenn es darum geht, wie man ableitet, hab ich die Ableitungsregeln "auf einen Blick" gefunden:
http//www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_ableitungen.html

Wenn es darum geht, diese Regeln auch praktisch anwenden zu können, hab ich frustfreies Lernen entdeckt: www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitungsregel.html

Das sollte nun aber Hilfe genug sein, oder?

Mfg Michael

Benny1186 aktiv_icon

23:38 Uhr, 07.05.2011

mein Abitur ist 6 Jahre her und ich hatte Mathe nicht als LK.

Sind denn dann folgende Ableitungen richtig?

$f (x) = \frac{1}{x² + 4}$

$f' (x) = - \frac{2 x}{(x² + 4) ²}$

$f'' (x) = \frac{4 x²}{(x² + 4) ³}$

$f''' (x) = - \frac{8 x³}{{(x² + 4)}^{4}}$

?????

Gruß Benny

pleindespoir aktiv_icon

23:56 Uhr, 07.05.2011

" mein Abitur ist 6 Jahre her und ich hatte Mathe nicht als LK. "

Mein Abitur ist 30 Jahre her ... inzwischen kann ich noch nicht mal mehr das Geld nachzählen, das ich beim Einkaufen herausbekomme.

---

Folgende Ableitungen sind richtig:

f (x) = \frac{1}{x ² + 4}

f' (x) = - \frac{2 x}{(x ² + 4) ²}

aaaber der Rest ... oweia!

Hast Du denn nicht die Links mal angesehen, die Dir empfohlen wurden?

Benny1186 aktiv_icon

00:15 Uhr, 08.05.2011

Was ist damit?

f''(x)= $\frac{2 x² - 4 x + 8}{(x² + 4) ³}$

pleindespoir aktiv_icon

00:22 Uhr, 08.05.2011

Sinnvoll wäre - wenn du etwas lernen möchten wollen würdest - Deinen kompletten Weg zu posten.

Nur so lässt sich erkennen, an welchen Ecken Du hängen bleibst.

Benny1186 aktiv_icon

00:39 Uhr, 08.05.2011

$\frac{- 2 x}{(x² + 4) ²} \Rightarrow 2 {(x² + 4)}^{- 2} \Rightarrow u (x) = 2 x; u' (x) = 2; v (x) = {(x² + 4)}^{- 2}; v' (x) = - 2 {(x² + 4)}^{- 3} * 1;;;; 2 * {(x² + 4)}^{- 2} + 2 x * (- 2) * {(x² + 4)}^{- 3} * 1 \Rightarrow \frac{2}{(x² + 4) ²} + \frac{2 x * (- 2) * 1}{(x² + 4) ³} \Rightarrow \frac{2 * (x² + 4)}{(x² + 4) ³} + \frac{2 x * (- 2) * 1}{(x² + 4) ³} \Rightarrow \frac{2 x² + 4 x + 8}{(x² + 4) ³}$

so sieht das auf meinem Zettel aus:(

Bummerang

00:50 Uhr, 08.05.2011

Hallo,

überprüfe doch noch mal folgendes:

EDIT: Toll, die Semikolon-Taste funktioniert, oder was sollen jetzt die vielen Semikolons?

Benny1186 aktiv_icon

10:00 Uhr, 09.05.2011

Danke.

Kommt dann statt der 1, 2x dort hin?

Dann müsste die 2.Ableitung ja $\frac{- 6 x + 8}{(x² + 4) ³}$ sein,. oder?

Gruß Benny

irena

10:10 Uhr, 09.05.2011

Hallo,
du hast einen Fehler bei der Ableitung von

v (

Nachricht

00 : 39)

v' = - 2 \cdot {(x^{2} + 4)}^{- 3} \cdot 2 x

innere Ableitung!

Benny1186 aktiv_icon

10:12 Uhr, 09.05.2011

sag ich ja, statt *1 muss da *2x hin und dann komme ich auf $\frac{- 6 x² + 8}{(x² + 4) ³}$ .

irena

10:24 Uhr, 09.05.2011

Hi, da ist noch ein Vorzeichenfehler:

\frac{- 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = - 2 x {(x^{2} + 4)}^{- 2}

sorry nachricht

00 : 39

Benny1186 aktiv_icon

10:26 Uhr, 09.05.2011

???

irena

10:35 Uhr, 09.05.2011

Also hier meine Lösung:
f"(x)=

\frac{6 x^{2} + 8}{{(x^{2} - 4)}^{3}}

Benny1186 aktiv_icon

10:41 Uhr, 09.05.2011

ja, okay. Das leuchtet ein. Danke.

Aber müsste es nicht dann $\frac{6 x² - 8}{(x² + 4) ³}$ sein?

irena

10:50 Uhr, 09.05.2011

f' (x) = - 2 x \cdot {(x^{2} - 4)}^{- 2} u = - 2 x; u' = - 2; v = {(x^{2} - 4)}^{- 2}; v' = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{3}} \cdot 2 x = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}

f"(x)

= - \frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{8 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = \frac{- 2 x^{2} + 8 + 8 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{3}} = \frac{6 x^{2} + 8}{x^{2} - 4}

Benny1186 aktiv_icon

10:57 Uhr, 09.05.2011

wieso ist denn bei dir auf einmal (x²-4)??? In der Aufgabe ist (x²+4)!?

irena

11:00 Uhr, 09.05.2011

sorry, dann bin ich von eine falschen Funktion ausgegangen.
dann stimmt deine Ableitung!!

Benny1186 aktiv_icon

11:04 Uhr, 09.05.2011

kein Problem, hatte nur schon verzweifelt nach meinem Fehler gesucht.:)

Wenn ich jetzt für die dritte Ableitung genauso vorgehe, komme ich auf $\frac{- 24 x³ + 96 x}{{(x 2 + 4)}^{4}}$ kann das hinkommen?

Gruß Benny

irena

11:12 Uhr, 09.05.2011

u = 6 x^{2} - 8; u' = 12 x; v = {(x^{2} + 4)}^{- 3}; v' = \frac{- 6 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}

f"'(x)

= \frac{- 24 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}

Benny1186 aktiv_icon

11:17 Uhr, 09.05.2011

ich denke die richtige Ableitung von F'' war $\frac{6 x² - 8}{(x² + 4) ³}$ ? und nicht $\frac{6 x² + 8}{{(x² + 4)}^{3}}$ ?

irena

11:22 Uhr, 09.05.2011

du hast recht, ich verbessere es gleich und mach 'ne Pause.

Benny1186 aktiv_icon

11:23 Uhr, 09.05.2011

jupp, danke für deine Hilfe.

Benny1186 aktiv_icon

17:31 Uhr, 10.05.2011

Und wie bildet man jetzt aus diesen Ableitungen eine Potenzreihe um 0?

Vielleicht kann mir das mal jemand erklären? Das wäre echt super.

Gruß Benny

irena

18:30 Uhr, 10.05.2011

Hallo, für

x = 0 :

f (x) = f (x) + \frac{f' (x)}{1!} + \frac{f'' (x)}{2!} + ... . . +

Restglied

Benny1186 aktiv_icon

23:16 Uhr, 10.05.2011

könntest du mir das mal am Beispiel $\frac{1}{x² + 4}$ erklären? Finde da keinen Ansatz.

Gruß Benny

Benny1186 aktiv_icon

23:16 Uhr, 10.05.2011

und was ist das Restglied?

irena

08:41 Uhr, 11.05.2011

Hallo, das Restglied ist das letzte Glied der Reihe

z . b

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}

f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

f'' (x) = \frac{6 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}} . .

.
einsetzen:

f (x) = \frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot x}{{(4)}^{3} \cdot 2!} + ...

.
die Reihe wird um

x = 0

entwickelt!

Benny1186 aktiv_icon

10:15 Uhr, 11.05.2011

danke. Wie sieht denn das Restglied aus? Und woher weis ich wie viele Ableitungen ich machen muss?

Gruß Benny

irena

10:20 Uhr, 11.05.2011

Hallo, das geht aus der Aufgabenstellung her vor, ebenso die Restgliedabschätzung.

Benny1186 aktiv_icon

12:21 Uhr, 11.05.2011

ist das Restglied ${(- 1)}^{n} \frac{n!}{{(x² + 4)}^{n + 1}}$ ?

Benny

irena

12:36 Uhr, 11.05.2011

sorry ich habe oben etwas verbessert.

irena

12:53 Uhr, 11.05.2011

Es gibt verschiedene Vorgehensweisen siehe wikipedia Taylorformel

Benny1186 aktiv_icon

13:50 Uhr, 11.05.2011

wenn ich ehrlich bin habe ich noch immer keine Idee wie die Antwort auf die Aufgabenstellung aussieht. Hab da echt ein Brett vorm Kopf:(

Benny1186 aktiv_icon

23:38 Uhr, 11.05.2011

Kann ich die Aufgabe wie folgt berechnen?

$f (x) = \frac{1}{x² + 4}$ ; $x_{0} = 0$

$f (x) = \frac{1}{x² + 4}$ $\Rightarrow \frac{1}{4}$

$f' (x) = \frac{- 2 x}{(x² + 4) ²}$ $\Rightarrow 0$

$f'' (x) = \frac{6 x² - 8}{(x² + 4) ³}$ $\Rightarrow - \frac{1}{8}$

$f''' (x) = \frac{- 24 ³ + 96 x}{{(x² + 4)}^{4}}$ $\Rightarrow 0$

Tnf(x)= $\frac{1}{4} + \frac{0}{1!} * (x - 0) - \frac{\frac{1}{8}}{2!} * (x - 0) ² + \frac{0}{3!} * (x - 0) ³ - ..... \frac{f^{n} (a)}{n!} * {(x - a)}^{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{\frac{1}{8}}{2!} x²$

$\Rightarrow \frac{1}{4}$

Ist das sowet alles richtig?

Gruß Benny

lepton

23:43 Uhr, 11.05.2011

Mache lieber bei der Fkt.

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}

eine komplexe Partialbruchzerlegung und bilde dann die

n -

te Ableitung von dieser neuen Fkt.

Ansatz:

\frac{1}{x^{2} + 4} = \frac{A}{x + 2 i} + \frac{B}{x - 2 i} \Rightarrow A = \frac{i}{4} \land B = - \frac{i}{4}

\Rightarrow f (x) = \frac{i}{4 x + 8 i} - \frac{i}{4 x - 8 i}

Benny1186 aktiv_icon

00:30 Uhr, 12.05.2011

Warum denn jetzt auf einmal eine Partialbruchzerlegung? Was ist denn an meiner anderen Rechnung falsch? Habe diese Art im Internet gefunden. Aber okay, ich bin auch an deiner Methode interessiert. Dann erklär mal genau wie das mit der Partialbruchzerlegung funktionert und wie ich dann die n-te Ableitung bilde.

Wenn in der Aufgabe steht, entwickeln Sie die Funktionen in eine Potenzreihe um 0, ist damit die n-te Ableitung gemeint oder ein konkretes Ergebniss wie z.B. 1/4?

Vielen Dank Benny

lepton

00:46 Uhr, 12.05.2011

Ich sehe da nur ein Taylor-Polynom zweiten Grades welches du um

x_{0} = 0

entwickelt hast und dazu hast du das Taylorpolynom n-ten Grades aufgeschrieben. Du sollst doch aber deine Fuktionen in eine Potenzreihe um

x_{0} = 0

entwickeln.
Ich weiss zwar nicht auf welche Internetseite du warst, aber ich kann dir garantieren, das was du zelebriert hast, ist keine Potenzreihe.
Schaue dir doch die Definition einer Taylorreihe (spezielle Potenzreihe) genauer an.
REIHE versteht sich, beginnt ab einem bestimmten Glied und geht ins UNENDLICHE.

Benny1186 aktiv_icon

00:50 Uhr, 12.05.2011

wenn ich jetzt noch mehr Ableitungen mache, habe ich dann eine Potenzreihe? Wenn ja, sind eh alle Null, bis auf f(x)=1/4, da x0=0.

lepton

01:07 Uhr, 12.05.2011

Wenn du im allgemeinen eine Fkt.

f

in eine Potenzreihe entwickeln sollst, vorausgesetzt

f

ist beleibig oft differenzierbar, dann brauchst du die Taylorreihe bei Polynomen. Und das bedeutet du musst die Taylorformel anwenden und dazu brauchst du auch die n-te Ableitung, da kommst du drumrum nicht weg.
Vielleicht könnte dir zum gewissen Verständnis ja diese Seite helfen:

http//www.das-gelbe-rechenbuch.de/download/Potenzreihen.pdf

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