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Funktionen mit mehreren Variablen - Kreisgleichung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Gleichungen, Kreisgleichung, mehrere Variablen

anonymous

14:16 Uhr, 28.02.2015

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich einer Übung aus dem Themenbereich "Funktionen mit mehreren Variablen": Und zwar muss ich für jede Gleichung den dazugehörigen Graphen bestimmen. Mir fällt es schwer, die Kreisgleichungen den jeweiligen Graphen zuzordnen. Wie ihr auf dem Bild sehen werdet, handelt es sich bei Gr.

1,3

und 7 um Kreise; ich weiß, dass logischerweise die Funktionen

d, g & h

in Frage kommen, jedoch weiß ich nicht wie man herausfindet, welche Gleichung zu welchem Graphen gehört.
Bitte findet ebenfalls angehängt, meine Lösungsversuche.

Ich bedanke mich vielmals für eure Tipps.

Liebe Grüße,
Gally

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

15:09 Uhr, 28.02.2015

"
:. handelt es sich bei Gr.

1,3

und 7 um Kreise;
"

...

. na ja .. echt ?

also mal ein erster Vorschlag:
setze

z = f (x, y)

d)

dann sieht zB

d)

so aus

\to z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

\to

für

z \geq 0

erhältst du die Gleichung

\to x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

\to

also beschreibt diese Punktmenge die Oberfläche einer Halbkugel mit Radius

r = 1

\to

zugeordnet ist also klar das Bild 1

oder :

h) \to z = 1 - x^{2} - y^{2}

also :

x^{2} + y^{2} = 1 - z

da bekommst du als "Höhenlinien" (für feste Werte von

z

mit

0 \leq z \leq 1)

jeweils Kreise deren Radien von 1 (bei

z = 0)

bis 0 (bei

z = 1)

abnehmen

jetzt darfst du entscheiden:
sieht das dann aus wie ein Drehkegel (also Bild 3 zugeordnet?)
oder
sieht das eher aus wie ein Rotationsparaboloid (also Bild 7 zugeordnet?)

nebenbei: ebene Parallelschnitte (zB parallel zur x-z-Ebene

) .

. sind das Parabeln?

. .

. kannst du deren Gleichungen sehen? (wähle zB

y

als Parameter fest mit

| y | \leq 1)

usw
usw

kommst du nun sicher schon etwas besser selbst klar?
ach ja

\to

wer ist eigentlich die Mieze auf deinem lasziven Foto ?

anonymous

16:45 Uhr, 01.03.2015

Hallo rundblick,

wenn ich dir gut folgen konnte, dann ist

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

die Formel für die Berechnung der Oberfläche einer Halbkugel?

zur

d) :

Genau das ist eben mein Problem, ich kann mir nicht vorstellen wie x^2+y^2=1−z bildlich aussieht, also ob es nun Gr. 3 oder Gr. 7 aussieht...Ich verstehe es einfach nicht

Besten Dank im voraus für deine Hilfe

PS: die Mieze auf dem lasziven Foto, ist eine Lieblingsschauspielerin

ledum aktiv_icon

17:44 Uhr, 01.03.2015

Hallo
du siehst dir einfach Schnitte mit der Ebene

x = 0,

mit der

y = 0

und

z = 0

an. die ebenen Figuren solltest du

a)

in der Zeichnung etwa wiedererkennen,

b)

aus der Schule kennen wenn da etwa steht für

y = 0

ist

z = x^{2}

dann weisst du das in der

z - y

Ebene eine Parabel
wenn da steh

z = x

dann hast du eine Gerade usw.
Gruß ledumsien muss, wenn

rundblick aktiv_icon

17:50 Uhr, 01.03.2015

.
"
die Formel für die Berechnung der Oberfläche einer Halbkugel? "

\to

......................NEIN

!,

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ist NICHT die Formel zur Berechnung der Oberfläche einer Halbkugel

Alle Punkte

P (x, y, z)

im Raum , die diese Gleichung erfüllen liegen auf der
Einheitskugel (Mittelpunkt : Ursprung)

Also

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ist die Gleichung einer Kugel im

R^{3}

anolog wie

x^{2} + y^{2} = 1

eine Kreisgleichung im

R^{2}

ist
(sollte dir nicht wahnsinnig neu sein

. .)

und erst wenn du die Bedingung

0 \leq z \leq 1

dazu nimmst,
bekommst du die Punkte auf der Halbkugel (Kugelhälfte oberhalb der x-y-Ebene)
ABER DOCH NICHT DEREN FLÄCHE..

du hast gewiss schon realisiert, dass wir in einem dreidimensionalen Raum
herumirren;
dabei kannst du gelegentlich Kugeln mit Radius

r

und Mittelpunkt

M (a, b, c),

also
der Punktmenge

\to {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2}

begegnen !

ok?

anonymous

11:18 Uhr, 02.03.2015

Ich hab mir eure Tipps & Tricks zu Herzen genommen und nochmal versucht die Übung zu lösen, ABER ABER ich habe immer noch nicht begriffen wie ich anhand eurer Ratschlägen

g)

und

d)

lösen soll, da beide umgeformt identisch sind also für:

d) f (x, y) = z

und

x = 0,

dann komme ich am Ende auf

z^{2} + y^{2} = 1

g)

für

x = 0,

komme ich ebenfalls auf

y^{2} + z^{2} = 1

Von daher könnte

g)

genau so gut zur Figur 1 gehören.

PS: gute Nachricht: dank euch konnte ich aber herausfinden, dass

h)

zur Fig. 7 gehört.

Grüße,
G.

ledum aktiv_icon

11:43 Uhr, 02.03.2015

Hallo
du hast

g)

falsch aufgelöst, es sieht so aus als hättest du den grausigen Fehler

{(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}

gemacht?
Gruß ledum

anonymous

23:02 Uhr, 02.03.2015

Also d)f(x,y)=Wurzel(1-x^2-y^2) und g)f(x,y)=1-Wurzel(x^2+y^2)

g)

Meine Auflösung für

f (0, y) :

z = 1 -

Wurzel(y^2)

\to z^{2} + y^{2} = 1

und genau das krieg ich auch bei

d)

raus.

Gruß,
G.

ledum aktiv_icon

00:35 Uhr, 03.03.2015

Wie kommst du von

z = 1 - \sqrt{y^{2}}

denn auf

z^{2} + y^{2} = 1

da steht doch

z + \sqrt{y^{2}} = 1

oder

z + y = 1

wenn du unbedingt quadrieren musst dann

z^{2} = {(1 - y)}^{2}

irgenswie denke ich immer noch dass du

z^{2} = {(1 - \sqrt{/} y^{2})}^{2} = 1 - y^{2}

gerechnet hast also wie ich sagte das grauenhafte

{(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}!!

Dass du das auch nach dem Hinweis nicht merkst ist

... ... . .

. ich sags lieber nicht
Gruß ledum

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