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Funktionen schneiden

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, zeichnen

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12:39 Uhr, 16.01.2022

Funktionen schneiden
Ich stehe auf der Leitung. Müsste ganz einfach sein.
2 Funktionen schneiden sich.
Entweder als Grafik oder Funktion.

a :

3 hoch

n

b

3 mal

m

Schnittpunkte gibt es bei
3
9

27

81

etc.

Ist nicht für Schulaufgabe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

00:58 Uhr, 17.01.2022

Hallo

3^{n} = 3 \cdot m | : 3

m = 3^{n - 1}

für

n = 1

bis beliebig, falls

m, n > 0

(gilt aber auch noch für negative

n

und rationale

m)

Gruß ledum

leitungsknoten aktiv_icon

12:54 Uhr, 17.01.2022

Sorry.
Leider nicht verstanden.

Folgende Idee:

Aber dann ist nichts zu sehen.

X

Achse a also für a hoch

n

oder

M := a

hoch

n

x

Achse auch

b

für

b

mal 3. oder

P := b

mal 3.

y

Achse das Ergebnis von

M

und

P

Nun kann ich Schnittpunkte

3927

sehen,
aber ich will alle Schnittpunkte sehen.

Was mache ich falsch.

Danke.

Mathe45

13:11 Uhr, 17.01.2022

"Was mache ich falsch ?"
Vieles.

z . B

. dass du uns nicht die Originalaufgabe verrätst.
Oder du uns nicht verrätst, welche Bedeutung die Buchstaben haben.

Roman-22

15:32 Uhr, 17.01.2022

>

Folgende Idee:

>

Aber dann ist nichts zu sehen.
Drückst du dich immer so klar aus??
Solltest du versucht haben, ein Bild hochzuladen, dann bist du

u . U

. am Größenlimit von

500

kB gescheitert.

> X

Achse a also für a hoch

n

oder

M := a

hoch

n

Aha!? Vorhin war doch noch

a = 3^{n}

> x

Achse auch

b

für

b

mal 3. oder

P := b

mal 3.
Spannend, denn vorhin war noch

b = 3 \cdot m

Und wenn du schon von x-Achse und Funktionen "sprichst", dann sollten deine Funktionen auch diese unabhängige Variable beinhalten. Sonst wäre es vl eher eine a-Achse oder eine n-Achse oder was immer bei dir die unabhängige Variable sein soll.

Es wird eigentlich immer unklarer, was du eigentlich suchst!

Solltest du aber bloß Wertepaare

(n; m)

suchen, für welche

3^{n} = 3 \cdot m

gilt, dann hat ledum ja schon alles gesagt.
Du wählst dir

n

beliebig und kannst dann das zugehörige

m = 3^{n - 1}

berechnen.
So beommst du zB die Paare

(1; 1), (2; 3), (4; 81),

aber auch Paare wie zB

(\frac{5}{2}; 3 \sqrt{3}) \approx (2,5; 5,196)

und

(- 2; \frac{1}{27}) \approx (- 2; 0,037)

.
Denn, um beim letzten Paar zu bleiben, es gilt ja auch

3^{- 2} = 3 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{9}

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12:57 Uhr, 18.01.2022

Es gibt keine Aufgabe.

Danke an mathe45.

Sondern ein Gedankenspiel von mir für mich.

Wie mache ich Graphik,
weil Zahlen werden ja schnell hoch
oder eine Funktion,
die die Schnittpunkte berechnet.

Es geht nicht um eine Schulaufgabe.

Die Buchstaben sind egal.
Anders:

Funktion 1

a := b

hoch

3;

Funktion 2

c := 3

mal

d;

Ich will Schnittpunkte berechnen

zb
3
9

27

81

etc.

Ist es nun verständlicher?

N8eule

13:01 Uhr, 18.01.2022

nein, das beste Verständnis hatte schon Ledum vermittelt.

\Rightarrow

Hast du denn Ledum verstanden ?

Roman-22

13:17 Uhr, 18.01.2022

>

Ist es nun verständlicher?
Nein, keineswegs.
Die Rückfragen nicht zu beantworten, auf die vorhandenen Beiträge nicht einzugehen und nur stereotyp die gleichen Formulierungen kryptisch zu wiederholen macht eine Sache ja auch nicht verständlicher.

Ich nehm' dich aber mal beim Wort

>

Die Buchstaben sind egal.

>

Funktion

1 a := b

hoch

3;

Es wird immer spannender. Vorhin war das doch eher

3^{b},

oder?

>

Funktion

2 c := 3

mal

d;

>

Ich will Schnittpunkte berechnen

>

> 3

> 9

Was du angibst sind bloß Zahlen, aber keine Punkte! Ein Punkt im Zweidimesionalen wird durch ZWEI Koordinaten festgelegt.

Außerdem: Die Graphen deiner Funktionen haben nur drei Schnittpunkte, nämlich

(0 / 0)

und

(\pm \sqrt{3} / \pm 3 \cdot \sqrt{3})

Und solltest du doch

3^{b}

anstelle von

b^{3}

gemeint haben, dann sind es nur zwei Schnittpunkte

HAL9000

14:12 Uhr, 18.01.2022

> Wie mache ich Graphik,
> weil Zahlen werden ja schnell hoch
> oder eine Funktion,
> die die Schnittpunkte berechnet.

Das ignoriere ich mal, weil es auf mich wirkt, als wäre es im Drogenrausch verfasst.

> Funktion 1
> a:=b hoch 3;
> Funktion 2
> c:=3 mal d;
>
> Ich will Schnittpunkte berechnen
> zb
> 3
> 9
> 27
> 81
> etc.

Ich werfe mal eine ganz andere Interpretationsvariante in den Ring (vielleicht ist sie abwegig, vielleicht auch nicht), aber diese unterschiedlich gewählten Symbole

b, d

machen mich einfach stutzig:

Gesucht sind vielleicht die GANZZAHLIGEN Lösungen der Gleichung

b^{3} = 3 \cdot d

. Das ist in dem Sinne eine Diophantische Gleichung.

Nun, wenn dem so ist, dann ist es eine sehr einfache solche Gleichung: Es folgt

3 ∣ b^{3}

und damit auch

3 ∣ b

, somit

b = 3 u

mit

u \in ℤ

. Das wiederum in die Gleichung

b^{3} = 3 d

eingesetzt ergibt über

27 u^{3} = 3 d

schließlich

d = 9 u^{3}

. D.h., die Diophantische Gleichung

b^{3} = 3 d

besitzt die Lösungspaare

(b, d) = (3 u, 9 u^{3})

mit

u \in ℤ

.

P.S.: Die Aufzählung 3, 9, 27, 81 passt in der Hinsicht allerdings besser auf die andere Diophantische Gleichung

3^{b} = 3 d

, die ja auch schon mal weiter oben im Thread aufgetaucht war...

Roman-22

15:50 Uhr, 18.01.2022

> P . S . :

Die Aufzählung

3, 9, 27, 81

passt in der Hinsicht allerdings besser auf die andere Diophantische Gleichung

3^{b} = 3 \cdot d,

die ja auch schon mal weiter oben im Thread aufgetaucht war...

Ja, das wirds vermutlich sein, nur leider hat die Fragestellerin weder zu ledums Beitrag Stellung genommen, noch zu meinem "Solltest du aber bloß Wertepaare $(n; m)$ suchen, für welche $3^{n} = 3 \cdot m$ gilt, dann hat ledum ja schon alles gesagt."

Manchmal ist es schon schwierig

. .

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16:26 Uhr, 19.01.2022

Danke für Hilfe an Roman-22.

Das Ergebis sollte so aussehen
entweder ein array
pder eine eindimensionale matrix
zB:

1,1,3

2,3,9

3,9,27

4,27,81

So
ist
3 hoch

2 = 3 \cdot 3 = 9

3 hoxg

3 = 3 \cdot 9 = 27

3 hoch

4 = 3 \cdot 27 = 81

etc.

Falls ich weiss wie es geht will auch zeichnen:

4 hoch

n

und 5 mal

n

oder
6 hoch

n

und 7 mal

n

.

Wie gesagt, keine Schulaufgabe.

Danke.
Es gen nicht um Brüche oder negative Zahlen.

HAL9000

16:49 Uhr, 19.01.2022

> 4 hoch

n

und 5 mal

n

> oder
> 6 hoch

n

und 7 mal

n

Falls das (in Analogie zu oben) deine seltsame Art ist, die Gleichungen

4^{n} = 5 \cdot m

bzw.

6^{n} = 7 \cdot m

auszudrücken:

Beide Gleichungen besitzen keine ganzzahligen Lösungspaare

(n, m)

, das ist schon aus elementaren Teilbarkeitsüberlegungen heraus klar.

Roman-22

17:12 Uhr, 19.01.2022

Nun, es kristallisiert sich immer mehr heraus, dass ledums Vermutung richtig war und wie ich schon geschrieben habe, hat sie eigentlich schon alles gesagt. Sie hatte ja wohl auch schon vermutet, dass du nur an ganzzahligen Lösungen interessiert bist.
Wenn du also eine Tabelle haben möchtest, dann kommt es darauf an, welche Hilfsmittel dir zur Verfügung stehen.
Eine Tabellenkalkulation wird dir vermutlich zugänglich sein.
Dann schreibe dort in Zelle

A 3

die Zahl "1" hinein,
in Zelle

B 3

schreibe die Formel "=3^(A3-1)"
und in Zelle

C 3

schreibe die Formel "=3*B3"
alles ohne die Anführungsstriche.
Nun lasse die Zeilen darunter analog ausfüllen (sodass die erste Spalte

1,2,3,4, . .

. zeigt
und du hast deine gewünschte Tabelle.

Dass du für Gleichungen wie

4^{a} = 5 \cdot b

keine ganzzahligen Lösungspaare

(a; b)

finden wirst können, hat die HAL9000 ja schon geschrieben.
Die oben skizzierte Tabelle kannst du aber leicht für Fälle wie

4^{a} = 4 \cdot b

und

5^{a} = 5 \cdot b

modifizieren.
Am Besten, indem du die Basis zB in Zelle

B 1

schreibst und in den Formeln die Zahl 3 durch $B$1 ersetzt.

Was du da graphisch darstellen möchtest, ist noch unklar.
Beachte, dass die zweite und dritte Spalte einfach nur die Potenzen

n^{a}

und

n^{a - 1}

sind. Wenn du diese Werte graphisch darstellen möchtest (Exponentialfunktionen ausgewertet an ganzzahligen Stellen), empfiehlt sich vl eine ordinatenlogarithmische Darstellung. Die Punkte liegen dann jeweils auf einer Geraden (siehe Anhang).

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17:12 Uhr, 21.01.2022

"> 4 hoch

n

und 5 mal

n

>

oder

> 6

hoch

n

und 7 mal

n

Falls das

(\in

Analogie zu oben) deine seltsame Art ist, die Gleichungen 4n=5⋅m bzw. 6n=7⋅m auszudrücken:

Beide Gleichungen besitzen keine ganzzahligen Lösungspaare

(n, m),

das ist schon aus elementaren Teilbarkeitsüberlegungen heraus klar."

DANKE für Hilfe.
Genau.
Es gibt Funktionen mit Schnittpunkten und ohne:

4 hoch

n

und 5 mal

m :

kein Schnittpunkt.

Aber 4 hoch

n

und 2 mal

m

oder

5 hoch

n

und

25

mal

m

Das Gedankenspiel soll noch weiter gehen.

zB

3 hoch

n

und 4 mal

m + 7

oder

4 hoch

n

und 7 mal

m + 17

etc.

Ich hoffe, es wird nun besser verständlich.

Sorry nochmal für schlechte Fragestellung.

HAL9000

18:24 Uhr, 21.01.2022

Zur Identifikation der Lösungen ist letztendlich Modulrechnung hilfreich:

1)

3^{n} = 4 m + 7

bedeutet modulo 4 die Kongruenz

(- 1)^{n} \equiv - 1 mod 4

, was genau dann erfüllt ist, wenn

n

ungerade ist. Die Lösungspaare kann man damit mit

k \geq 1

so parametrieren:

n = 2 k + 1

mit

m = \frac{3^{2 k + 1} - 7}{4}

4^{n} = 7 m + 17

bedeutet modulo 7 die Kongruenz

4^{n} \equiv 3 mod 7

Schauen wir uns mal

4^{n} mod 7

für

n = 0, 1, 2, \dots

an: 1,4,2,1... und wir sind schon in der Periode.

D.h., Rest 3 taucht da nie auf, ergo: Die Diophantische Gleichung

4^{n} = 7 m + 17

besitzt keine Lösungen.

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