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Funktionenfolge Grenzfunktion

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Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

malina2 aktiv_icon

09:29 Uhr, 18.05.2009

Hallo Leute

ich muss für folgende Funktionenfolge:

fn(x)=1-1/1+(x-n)^2

a

.)Bestimmen Sie die Grenzfunktion

f (x)

a

.)Konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen

f (x)

?

ich brauche ein typ wie ich damit umgehen kann, ich meine ob ich die

x

oder

n

durch ein wert ersezten soll und den grenzwert berechnen?
wie kann ich testen was passiert wenn

n \to \infty

strebt?
ich weiss dass es punktweise konvergenz handelt, und punktweise konvergenz besagt:
für jedes Element

x

des Definitionsbereichs konvegiert die funktion gegen sein grenzwert oder?
wäre sehr dankbar für euere hilfe!
ariane

pwmeyer aktiv_icon

10:37 Uhr, 19.05.2009

Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass es sich um folgende Funktionen handelt:

f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{1 + {(x - n)}^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x^{2} - 2 \cdot x \cdot n + n^{2}}

Für jedes feste

x

handelt es sich um eine gewöhliche Zahlenfolge,

z . B

. für

x = 3 :

f_{n} (3) = 1 - \frac{1}{1 + {(3 - n)}^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + 9 - 6 \cdot n + n^{2}}

Kannst Du hiervon den Grenzwert bestimmen?

Gruß pwm

pepe1 aktiv_icon

14:23 Uhr, 19.05.2009

Grenzfunktion:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x) = 1

d_{n} (x) := f_{n} (x) - f (x) = - \frac{1}{1 + {(x - n)}^{2}}

supr

| d_{n} (x) | = | d (n) | = 1

x \in D_{f}

lim_{n \to \infty} | d_{n} (n) | = 1 \neq 0,

also nicht glchm. konv.

[

Bezeichnung:
Statt( Differenzfunktion

) d (x)

besser die Abhängigkeit von

n

andeuten:

d_{n} (x)]

malina2 aktiv_icon

17:13 Uhr, 19.05.2009

Hallo,
erst mal vielen dank für die tolle erklärung!
die erste antwort habe verstanden.
aber was isch nicht verstehe ist warum ich die grenzfunktion gleich f(x)setzen soll?
dass

f (x) = 1

verstehe ich:

Grenzfunktion:

lim

fn(x)=f(x)=1
n→∞
was bedeutet

d (x)

die ableitung?

d(x):=fn(x)-f(x)=-11+(x-n)2
das verstehe ich auch nicht, können sie ein paar wörter dazu schreiben?
waäre toll
supr

| d (x) | = | d (n) | = 1

x∈Df

limn→∞|d(n)|=1≠0, also nicht glchm. konv.
hier heisst also damit es eine gleichmässige konvergen existiert, muss der

lim

lim

gleich 0 sein?
n→∞
vielen dank für euere hilfe,
grüsse,
ariane

pepe1 aktiv_icon

19:36 Uhr, 19.05.2009

Zu:...was bedeutet

d (x) -

besser

d_{n} (x) -

die ableitung?...
Nein, sondern:
Der Betrag der Differenzfunktion von

f_{n} (x)

und der Grenzfunktion

f (x) .

d_{n} (x) := | f_{n} (x) - f (x) | = | (1 - \frac{1}{1 + {(x - n)}^{2}}) - 1 | = \frac{1}{1 + {(x - n)}^{2}}

Natürlich gilt für jedes

x \in D_{f :} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x),

bzw.,was gleichbedeutend damit ist:

lim_{n \to \infty} d_{n} (x) = 0 (

punktweise Konvergenz)

Wir wollen aber

f_{n}

auf glchm. Konvergenz hin untersuchen.

Ein Kriterium dafür ist: siehe hierzu etwa
http//de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz

Die Folge

f_{n} (x)

konvergiert gleichmäßig gegen

f

genau dann, wenn

lim_{n \to 00}

supr

d_{n} (x) = 0

[

Supremum über alle

x \in D_{f}

genommen.

]

Wir ermitteln also das supr

d_{n} (x) =

supr

(\frac{1}{1 + {(x - n)}^{2}}) = d (n) = 1

Hier ist das Supr gleich dem Maximum, das

d_{n} (x)

an der Stelle

x = n

annimmt.
(größter Wert

d_{n} (n) = \frac{1}{1 + 0^{2}} = 1,

an allen anderen Stellen hat

d_{n}

Werte

< 1;

ggf. durch Ableiten Max suchen.)

Das oben genannte Kriterium ist also nicht erfüllt, denn:
Die Folge

f_{n} (x)

konvergiert gleichmäßig gegen

f (x)

genau dann, wenn

lim_{n \to 00}

supr

d_{n} (x) = 0

[

Supremum über alle

x \in D_{f}

genommen.

]

Hier aber:

lim_{n \to 00}

supr

d_{n} (x) = lim_{n \to 00} 1 = 1 \neq 0

Damit ist

f_{n}

nicht glchm. konvergent.

MfG

612931

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