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Funktionenfolge Punktweise und gleichmäßige Konv.

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Funktionenfolgen

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TestUser123456789 aktiv_icon

16:34 Uhr, 17.01.2023

Hallo,

Ich habe die folgende Aufgabe.
Leider verstehe ich schon nicht so richtig wie die funktionenfolge definiert ist.

Darf ich einfach

f (x + \frac{1}{n}) \in f (x)

einsetzen also quasi das

x

substituieren? Und das ist dann meine Funktionenfolge?

Ich soll die auf Punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:41 Uhr, 17.01.2023

Hallo,

hm, manchmal muss man Mathematik einfach nur stur sein und darf nicht anfangen, zu interpretieren.

Sei

f

durch

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

.

Weiters sei

f_{n} (x) := f (x + \frac{1}{n}) = \frac{1}{1 + {(x + \frac{1}{n})}^{2}} = \frac{1}{1 + {(\frac{n x + 1}{n})}^{2}} = \frac{1}{1 + \frac{(n x + 1)^{2}}{n^{2}}} = \frac{n^{2}}{n^{2} + (n x + 1)^{2}}

So, jetzt du wieder...

Mfg Michael

TestUser123456789 aktiv_icon

16:51 Uhr, 17.01.2023

Vielen Dank,
für die Punktweise Konvergenz muss ich dann ja von fn(x) den Limes

n

gegen unendlich bilden.
Dort bekomme ich 1 raus. Ist die funktionenfolge dann Punktweise Konvergent mit der funktion

f (x) = 1

?

Leider versehe ich das mit Limes in die Funktionswertbildung hereinziehen nicht so ganz. Für mich sieht das immer gleich aus..

michaL aktiv_icon

17:01 Uhr, 17.01.2023

Hallo,

die punktweise Konvergenz fragt "nur" danach, was passiert, wenn

n \to \infty

"wandert".

Da

f_{n} (x) = f (x + \frac{1}{n})

gilt und

f

stetig ist, sollte klar sein, dass

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)

gilt.

Die Konvergenz (zumindest zunächst) nur punktweise. (Sonst würde man auch gerne

lim_{n \to \infty} f_{n} = f

schreiben.)

Mfg Michael

TestUser123456789 aktiv_icon

17:06 Uhr, 17.01.2023

Vielen Dank, heißt das, deine schöne Umformung war für diesen Schritt nicht notwendig?
Leidglich sollte man wissen das

f

stetig ist und deshalb kann ich den Limes in die Funktionsvorschrift hineinziehen und es ergibt sich dann natürlich aus

f (x + \frac{1}{n}) = f (x)

verstehe ich das richtig? wäre

f

nicht stetig so könnte ich diesen schritt nicht ohne weiters machen?

michaL aktiv_icon

17:13 Uhr, 17.01.2023

Hallo,

korrekt.

Mfg Michael

TestUser123456789 aktiv_icon

10:44 Uhr, 18.01.2023

Stimmt meine Rechnung soweit? für die Punktweise Konvergenz ist also wirklich nur entscheidend, dass es eine solche Funkton

f (x)

gibt? gegen die alle

x

konvergieren?

(x

soll ja fest aber beliebig sein)

In meinem Fall gilt das?!

Für die gleichmäßige Konvergenz weiß ich nicht so genau wie ich das machen soll. Wenn ich mir das anschaue würde ich sofort sagen der Grenzwert ist 0 für

n

gegen unendlich. Somit wäre es ja auch gleichmäßig konvergent. Habe ich zu grob abgeschätzt ?

TestUser123456789 aktiv_icon

11:08 Uhr, 19.01.2023

Ergänzung:

Ich habe nochmals anders umgeformt und komme jetzt zu diesem Ergebnis, Stimmt meine Umformung und auch mein Ergebnis das dass es auch gleichmäßig stetig ist da ich eben mein Epsilon so wählen kann wie am Schluss?
Oder habe ich evlt vergessen alle beliebige werte für

x

zu berücksichtigen?

Liebe Grüße

ledum aktiv_icon

17:31 Uhr, 19.01.2023

sieht gut aus, ausser für

x = 0

Gruß ledum

TestUser123456789 aktiv_icon

18:34 Uhr, 19.01.2023

Stimmt Danke :-D)

für

x = 0

kann ich Epsilon einfach anders abschätzen mit

\frac{- 1}{n^{2} + 1}

Somit ist fn(x) auch gleichmäßig stetig.

Nur zur Kontrolle. Da ich jetzt herausgefunden habe, dass fn(x) gleichmäßig Stetig ist muss daraus folgen das

f (x)

gleichmäßig (stetig??) konvergiert. Oder wie war das nochmal? da gab es doch ein Theorem :-D)

Vielen Dank und grüße

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