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Funktionenfolge in dichter Teilmenge

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: dicht, Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz

i-benni aktiv_icon

16:48 Uhr, 21.04.2012

Guten Tag zusammen,

ich sitze aktuell an folgender Aufgabe:

Seien die Funktionen $f_{n} : X \subset R s t e t i g u n d s e i E \subset X$ dichte Teilmenge mit der Eigenschaft, dass die Folge auf E gleichmäßig konvergiert.

Ich soll nun zeigen, dass f auch auf X gleichmäßig konvergiert.

Meine Überlegung ist die, dass ich ja für jedes x aus X eine Umgebung in E finde, so dass x in dieser Umgebung enthalten ist. Könnte ich nun X als Vereinigung aller solcher Umgebungen schreiben? Die Folge würde doch insbesondere in jeder Umgebung innerhalb von E gleichmäßig konvergieren und somit auch auf ganz X wenn ich X als Vereiningung ansehen würde.

Nur muss ich doch wahrscheinlich auch noch zeigen, dass die Folge in jeder Umgebung gleichmäßig Konvergiert bzw. dass X tatsächlich die Vereinigung aller Umgebungen ist?!

Wo sollte die Information über die Stetigkeit (Grenzfunktion ist ja ebenfalls stetig) mit eingehen?

Danke für eure Antworten,

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:23 Uhr, 22.04.2012

Nach Voraussetzung gibt es ein

f : E \to ℝ

mit

lim_{n \to \infty} s u p_{x \in E} | f_{n} (x) - f (x) | = 0

.
Sei

ε > 0

gegeben. gesucht ist ein

N,

so dass für

n, m > N

stets sogar

s u p_{x \in X} | f_{n} (x) - f_{m} (x) | < ε

gilt.
Das sieht nach einem typischen

\frac{ε}{3}

-Beweis aus, oder?
Wir fangen also an, indem wir

N

so bestimmen, dass wenigstens

s u p_{x \in E} | f_{n} (x) - f (x) | < \frac{ε}{3}

für alle

n > N

gilt.
Wie kann man aber

x_{0} \in X,

das möglicherweise nicht in

E

liegt, behandeln?
Seien

n, m > N

.
Da

f_{n}

stetig ist, gibt es eine offene Umgebung

U_{n}

von

x_{0}

mit

| f_{n} (x) - f_{n} (x) | < \frac{ε}{3}

für alle

x \in U_{n}

.
Dasselbe gilt für

f_{m},

was uns eine offene Umgebung

U := U_{n} \cap U_{m}

liefert.
Per Dichtheit liegen in

U

auch Punkte aus E. Ist

x_{1}

solch einer, folgt

| f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0}) | \leq | f_{n} (x_{0}) - f_{n} (x_{1}) | + | f_{n} (x_{1}) - f_{m} (x_{1}) | + | f_{m} (x_{1}) - f_{m} (x_{0}) | < ε

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