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Funktionenfolge und L^1 Norm

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

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15:19 Uhr, 19.10.2021

Guten Tag,

ich soll motivieren, dass

f (x) = x^{- 1 / 2}

als Element von

L^{1} ((0, 1))

interpretiert werden kann, indem ich eine Cauchyfolge in

(C^{\infty} ([0, 1]), ∣ ∣ \cdot ∣ ∣_{L^{1} ((0, 1))})

finde, die punktweise gegen f konvergiert.
Ich glaube eine solche gefunden zu haben, nämlich

f_{n} (x) = (x + \frac{1}{n})^{- 1 / 2}

.
Nachdem ich bewiesen habe, dass sie eine Cauchyfolge ist, weiss ich jedoch nicht, wie ich weitermachen soll.

MfG,
Noah

DrBoogie aktiv_icon

17:10 Uhr, 19.10.2021

Die Fragestellung ist komisch.

x^{- 1 / 2}

ist in

L^{1} (0, 1)

, einfach weil

\int_{0}^{1} x^{- 1 / 2} d x = 2 < \infty

. Was sollen jetzt die Cauchy-Folgen?

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18:33 Uhr, 19.10.2021

Das würde ich auch gern wissen.

Vielleicht soll man über einen Umweg argumentieren. Zum Beispiel: Die Cauchyfolge konvergiert gegen f, daher gilt

∣ ∣ f ∣ ∣_{L^{1} ((0, 1))}

ist endlich. Oder sowas in der Art. Genau weiss ich es aber auch nicht.
Naja, wenn ich es wüsste, dann hätte ich die Frage nicht gestellt

DrBoogie aktiv_icon

18:44 Uhr, 19.10.2021

"Die Cauchyfolge konvergiert gegen f, daher gilt ∣∣f∣∣L1((0,1)) ist endlich"

Das würde aus der punktweisen Konvergenz nicht folgen.

Und aus meiner Sicht gehören die Quizfragen in die Boulevardzeitungen und nicht in Mathe-Unterricht.

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18:56 Uhr, 19.10.2021

Würde es dann aus der gleichmässigen Konvergenz folgen?
zB:

∣ ∣ f_{n} ∣ ∣ - > ∣ ∣ f ∣ ∣

und

∣ ∣ f_{n} ∣ ∣ < \infty

Der Professor muss ja irgendeinen Grund gehabt haben, diese Frage zu stellen. Wie eine Quizfrage kommt sie mir nicht vor.

pwmeyer aktiv_icon

10:35 Uhr, 20.10.2021

Hallo,

vielleicht hilft ein Blick in Deine Vorlesung.

Der Raum

L^{1}

wird oft eingeführt als Vervollständigung unter der

{| | . | |}_{1} -

Norm (Seminorm) über einem Grundraum von gut bekannten Funktionen. Das kann ein Raum von Treppenfunktionen sein oder eben der Raum

C^{\infty}

. Offenbar sollst Du jetzt diese Definition für das Beispiel

x^{- \frac{1}{2}}

nachvollziehen.

Wenn man mit der Theorie durch ist, weiß man, dass absolut uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen auch zu

L^{1}

gehören; dann greift das Argument von DrBoogie.

Gruß pwm

NFFN1 aktiv_icon

10:55 Uhr, 20.10.2021

Heisst das also, dass es genügt zu sagen, dass ich eine Cauchyfolge gefunden habe, welche gegen eine Funktion konvergiert, welche (die Funktion) somit in L^1 ist?

pwmeyer aktiv_icon

11:43 Uhr, 20.10.2021

Ja, wenn Ihr das so eingeführt habt.

Cauchy-Folge bezüglich

{| | . | |}_{1},

Konvergenz punktweise (evtl fast überall)

Gruß pwm

NFFN1 aktiv_icon

12:12 Uhr, 20.10.2021

Okay super. Danke euch beiden :-)

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