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Funktionenscharen

Schüler Gymnasium,

Tags: Exzremstellen, Funktionenschar, Verhalten

matheass11 aktiv_icon

17:50 Uhr, 05.02.2012

HAllo ihr Lieben,
ich bin am verzweifeln :(
Folgende Aufgabe ist mein Problem:

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)=x-k*e^x mit

k \in ℝ

ungleich 0
a)Verhalten der Funktion für x -> +- unendlich in Abhängigkeit von k.
b)Zeigen Sie,dass 2 Funktionen der Schar mit unterschiedlichen Werten von k sich nicht schneiden.
c)Zeigen Sie,dass fk für alle k>0 genau einen Hochpunkt hat und dass fk für k<0 keine Extremstellen besitzt.
d)Zeigen Sie, dass alle Hochpunkte der Funktionenschar fk auf der Geraden mit der Gleichung y=x-1 liegen.

Danke schonmal für die Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

michael777 aktiv_icon

17:57 Uhr, 05.02.2012

a)

für

x \to - \infty

geht

k \cdot e^{x} \to 0

y = x

ist schiefe Asymptote

k > 0 :

für

x \to + \infty

geht

f

gegen

- \infty

(eine Potenz mi

x

im Zähler wächst schneller)

k < 0 :

für

x \to + \infty

geht

f

gegen

+ \infty

b)

k_{1} \neq k_{2}

gleichsetzen

x - k_{1} e^{x} = x - k_{2} e^{x}

vereinfachen

(k_{2} - k_{1}) e^{x} = 0

keine Lösung, da

k_{1} \neq k_{2}

und

e^{x}

nie null wird
es gibt also keinen Schnittpunkt zweier Funktionen der Schar

c)

ableiten
Ableitung

= 0

probiers mal

Extremstelle bei

x = ln (\frac{1}{k})

für negative

k

gibts keine Extremstelle

d)

hier ist die Ortskurve der Hochpunkte gesucht

H (ln (\frac{1}{k}) | f (ln (\frac{1}{k}))

y-Wert des Hochpunkts mit

f (ln (\frac{1}{k}))

berechnen
x-Wert des Hochpunkts nach

k

auflösen und

k

des y-Werts durch diesen Ausdruck ersetzen

matheass11 aktiv_icon

18:09 Uhr, 05.02.2012

okay Danke,die b) verstehe ich jetzt aber die a) ist mir immer noch nicht so klar :/

michael777 aktiv_icon

18:16 Uhr, 05.02.2012

nochmal zu

a)

f (x) = x - k \cdot e^{x}

e^{x}

geht für

x

gegen

- \infty

gegen 0
deshalb kann der Anteil der abgezogen wird vernachlässigt werden
es bleibt

y = x

übrig, das ist die Asymptote für

x \to - \infty

für

x \to + \infty

geht

e^{x}

schneller gegen

\infty

als

x

deshalb überwiegt hier der Anteil der subrahiert wird,
die Näherungsfunktion ist

y = - k \cdot e^{x}

und diese geht für positive

k

gegen

- \infty

für negative

k

gegen

+ \infty

eine Asymptote gibts für

x \to + \infty

nicht

matheass11 aktiv_icon

18:31 Uhr, 05.02.2012

ahhh.. okay :-) so jetzt hab ich a) und b)
bei c) hab ich die Ableitung gebildet : f´(x) = 1-k*e^x
für Extremstellen ist notreichende Bedingung f´(x)=0
also 1.ableitung mit 0 gleichsetzen,dann ist x=ln(1/k)
und dann hinreichende Bedingung : f´´(x) ungleich 0
wie kann man den jetzt ausrechnen ,dass es genau einen Hochpunkt bei k>0 besitzt bzw. keine Extremstellen bei k<0 ?

michael777 aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.02.2012

genau einen Hochpunkt, weil die erste Ableitung nur für den einen x-Wert null wird
beim Hochpunkt muss die zweite Ableitung negativ sein

wegen

x = ln (\frac{1}{k})

gibts für negative

k

keine Extremwerte
Logarithmen von negativen Zahlen sind nicht möglich!

matheass11 aktiv_icon

18:49 Uhr, 05.02.2012

gut, c) ist auch verstanden !!! :-)
jetzt zu d) -> ich habe jetzt den Hochpunkt(ln(1/k))/f(ln(1/k))) und habe ln(1/k) in x eingesetzt, um den y-Wert des Hochpunktes auszurechnen. jetzt habe ich y= ln(1/k)-k*e^ln(1/k).
also ist mein Hochpunkt (ln(1/k)/ ln(1/k)-k*e^ln(1/k)) ?

michael777 aktiv_icon

18:53 Uhr, 05.02.2012

der y-Wert lässt sich noch vereinfachen

e^{ln}

hebt sich auf
also

y = ln (\frac{1}{k}) - k \cdot \frac{1}{k} = ln (\frac{1}{k}) - 1

ausserdem kann man mit Hilfe des Logarithmengesetzes noch weiter vereinfachen:

ln (\frac{1}{k}) = ln (1) - ln (k) = 0 - ln (k) = - ln (k)

somit ist

y = - ln (k) - 1

matheass11 aktiv_icon

19:03 Uhr, 05.02.2012

verstanden ! so jetzt muss ich den x-wert nach k auflösen oder ? also x=ln(1/k) -> k= ..?
kann man das nicht so machen , dass man mal k rechnet also x*k=ln(1) | /x
-> k=ln(1)/x -> da ln(1)=0 -> 0/x =0 also k=0 ??? neeee :(

michael777 aktiv_icon

19:06 Uhr, 05.02.2012

das

k

steht im Nenner hinter dem

ln,

das kann man nicht durch multiplizieren wegbringen!

x = ln (\frac{1}{k})

e

hoch beide Seiten

e^{x} = \frac{1}{k}

jetzt kann man mit

k

multiplizieren

k \cdot e^{x} = 1

k = \frac{1}{e^{x}}

matheass11 aktiv_icon

19:13 Uhr, 05.02.2012

gut, also: y=-ln(k)-1 , yk=-ln(1/e^x)-1
wird das -ln(1/e^x) dann einfach zu x ? weil dann wäre ja yk=x-1?
somit hätte ich dann d) gezeigt und bewiesen

michael777 aktiv_icon

19:19 Uhr, 05.02.2012

genau

- ln (\frac{1}{e^{x}}) = - ln (e^{- x}) = - (- x) = x

matheass11 aktiv_icon

19:21 Uhr, 05.02.2012

Wow !!! Vielen Dank Michael777 ! Ich hab alles verstanden,dank dir ,du hast meinen Tag gerettet ! :-P) Danke :-)

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