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Funktionenscharen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis

Vaneeeessa aktiv_icon

15:37 Uhr, 27.11.2012

Zeigen Sie, dass jede Funktion der Funktionenschar fk mit

f (x) = (k - x) e^{x}

und

k

(element

R)

genau einen Extrempunkt hat und dass die Extrempunkte aller Funktionen auf dem Graphen der Funktion

g

mit

g (x) = e^{x}

liegen.
Die Funktionen sind:

f 1 (x) = (1 - x) e^{x}; f 2 (x) = (2 - x) e^{x}

und

f 3 (x) = (3 - x) e^{x}

.

Dies ist eine Aufgabe meine Präsentationsprüfung in Mathe und ich habe leider keine Ahnung wie ich das angehen soll. Habe das ganze Internet durchsucht und Schüler aus meinem Kurs gefragt jedoch kann mir niemand dabei Helfen.
Und es wäre super lieb wenn mir jemand dabei Hilft oder mir diese Aufgabe vorrechnet. Es ist wirklich dringend!!

Schonmal Danke im Vorraus! Lieben Gruß, Vanessa

Meine Idee:

Zuerst habe ich die erste Ableitung von fk(x) gebildet und sie gleich null gesetzt, dann habe ich fk

(x) = 0 = - e^{x} + (k - x) e^{x}

= e^{x} +

ke^x

- e^{x} x

e^{x}

hab ich dann ausgeklammert und dann kam

0 = - 1 + k - x

raus.
Dann nach

x

umgestellt und dann in fk(x) eingesetzt.
Mein Ergebnis wäre dann

E (- 1 + k | e^{x} - 1 + k)

Jedoch finde ich das irgendwie total unsinnig. denn damit habe ich doch nicht bewiesen das genau ein extrempunkt da ist und das alle extrempunkte auf dem graphen der funktion

g

liegen, oder doch?
Wenn wüsste ich nicht wie ich es in meiner Präsentationsleistung begründen soll. Also bitte helft mir!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

16:24 Uhr, 27.11.2012

Mach das Ganze in zwei Schritten. Zunächst rechnest du ganz normal die Koordinaten des Extrempunktes aus, wie du es auch bei einer einzelnen Funktion tun würdest. Dazu baruchst du die erste Ableitung (hast du richtig gefunden) und die zweite Ableitung , um HP und TP zu unterscheiden. Es gilt, wie du richtig gerechnet hast,

f_{k}' (x) = (k - x - 1) \cdot e^{x}

. Daraus bekommst du

f_{k}'' (x) = (k - x - 2) \cdot e^{x}

. Wenn du die erste Ableitung gleich 0 setzt, ergibt sich richtig

x = k - 1

. Aber jetzt musst du zunächst in die zweite Ableitung einsetzen. Das ergibt

f_{k}'' (k - 1) = [k - (k - 1) - 2] \cdot e^{k - 1} = - e^{k - 1}

. Da

e^{k - 1}

immer

> 0

ist, ist die zweite Ableitung also immer negativ und alle Extrempunkte sind Hochpunkte. Es fehlt noch ihre

y

-Koordinate.

f_{k} (k - 1) = [k - (k - 1)] \cdot e^{k - 1} = e^{k - 1}

.
Daraus kannst du jetzt auch gleich den Rest ablesen. Die Kurve der Extrempunkte gehört ja zu der Funktion

g : x_{e} \mapsto f_{k} (x_{e})

. Dazu löst du

x_{e}

nach

k

auf, das ergibt

k = x + 1

. Diesen Term setzt du für

k

in die Gleichung für die y_koordinate (siehe oben ) ein. Es ergibt sich

e^{x + 1 - 1} = e^{x}

. Das war es, was du zeigen solltest.
Ich hänge dir eine Grafik an, welche mehrere Scharfunktionen und eine Kurve durch ihre Hochpunkte enthält. In der Legende bedeutet exp(x) den Term

e^{x}

Vaneeeessa aktiv_icon

16:34 Uhr, 27.11.2012

OOHHHH dankeschön

!!

Super erklärt

!!

:-))

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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