Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Funktionenscharen- Anwendungsaufgabe

Funktionenscharen- Anwendungsaufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Frage, mathe, Schar

v-love aktiv_icon

20:18 Uhr, 16.11.2011

Moin,

es geht um folgende Aufgabe:

Ein runder Springbrunnen enthält mehrere, im Kreis um die Mitte angeordnete schräge Fontänen. Wir modellieren eine der Fontänen durch die Funktionenschar

f (x) =

ax^2

+ (5 - 2 a) x + (a - 5)

. Dabei hängt der Parameter a vom Wasserdruck ab. Ein Meter von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die Fontäne aus dem Brunnen.

c)

Der Rand des Brunnend ist

7 m

von der Mitte entfernt. In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal

6 m

von der Brunnenmitte entfernt wieder landet?

Ich habe jetzt einfach 6 anstelle von

x

eingesetzt und nach a augelöst..geht das?

LG

v-love aktiv_icon

20:36 Uhr, 16.11.2011

Hab ein Bild hinzugefügt...falls es hilft

michael777 aktiv_icon

20:58 Uhr, 16.11.2011

deine Vorschlag mit

x = 6

ist richtig

bei

x = 6

trifft der Wasserstrahl wieder auf,

x = 6

ist eine Nullstelle

f (6) = 0 :

36 a + (5 - 2 a) \cdot 6 + a - 5 = 0

a = - 1

für

- 1 < a < 0

wird die nach unten geöffnete Parabel weiter, der Strahl trifft weiter aussen auf, diese a sind somit keine Lösung

aufgrund der Parabelform (nach unten geöffnet) sind auch positive a keine Lösungen

für

a < - 1

wird die Parabel immer schmaler, alle Parabeln haben die Nullstelle

x = 1

der gesuchte Bereich für die möglichen a ist also

a \leq - 1

v-love aktiv_icon

21:10 Uhr, 16.11.2011

Daaaanke :-)

und die nächsten Aufgaben:

d)Wie hoch ist die Fontäne dann

?

...muss ich da einfach

- 1

für a einsetzen und dann den HP berechnen?

e)Entlang welcher Kuve bewegt sich das Maximum der Fontäne, wenn man das Wasse langsam aufdreht?

aber erst einmal die d):-)

michael777 aktiv_icon

21:13 Uhr, 16.11.2011

d)

a = - 1

einsetzen
ableiten
erste Ableitung

= 0

damit den x-Wert des Hochpunkts berechnen
die Höhe durch einsetzen dieses x-Werts in die Ausgangsfunktion

f_{- 1}

also h_max

= f_{- 1}

(x_HP)

v-love aktiv_icon

21:22 Uhr, 16.11.2011

Ich habe als HP

HP(

\frac{7}{2}; \frac{25}{4})

michael777 aktiv_icon

21:23 Uhr, 16.11.2011

richtig

e)

ist die Ortskurve der Hochpunkte von der Schaubilder von

f_{a}

hier musst du wieder mit

f_{a}

rechnen und die Ableitung

f_{a}'

v-love aktiv_icon

21:30 Uhr, 16.11.2011

Ich habe jetzt die erste Ableitung gleich Null gesetzt

f´(x)= 2ax+(5-2a)=0

x 1,2 = \frac{a}{2} \pm

Wurzel((-a/2)^2-

\frac{5}{2} + a)

Jetzt weiß ich nicht, wie ich das weiter zusammenfassen soll

michael777 aktiv_icon

21:33 Uhr, 16.11.2011

da habe ich was anderes, es ist keine quadratische Gleichung!

2ax

+ 5 - 2 a = 0

2ax

= 2 a - 5

x = \frac{2 a - 5}{2 a}

oder vereinfacht:

x = 1 - \frac{5}{2 a}

michael777 aktiv_icon

21:49 Uhr, 16.11.2011

da ich für heute Schluss machen muss, hier der Rest der Lösung

Hochpunkte:

x = 1 - \frac{5}{2 a}

y = f_{a} (1 - \frac{5}{2 a}) = - \frac{25}{4 a}

x

nach a auflösen:

a = \frac{5}{2 - 2 x}

in die andere Gleichung eingesetzt:

y = - \frac{25}{4 \cdot \frac{5}{2 - 2 x}}

y = - \frac{5}{2} (1 - x)

Ortskurve der Maxima:

y = \frac{5}{2} x - \frac{5}{2}

Tipp:
falls du einen GTR hast, dann zeichne man

f_{- 1}, f_{- 2}, f_{- 3}

und die Ortskurve
dann erkennst du, dass die Gerade durch die Hochpunkte der einzelnen Parabeln verläuft

v-love aktiv_icon

21:50 Uhr, 16.11.2011

aly

y -

Koordinate hab eich

y = \frac{25}{4} a - \frac{25}{2 a}

michael777 aktiv_icon

21:53 Uhr, 16.11.2011

das soll wohl

\frac{25}{4 a} - \frac{25}{2 a}

heissen
das lässt sich dann zu

- \frac{25}{4 a}

zusammenfassen

v-love aktiv_icon

21:53 Uhr, 16.11.2011

Du bist einfach super!!!!

Danke

< 3

940404

940360

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?