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Funktionenscharen, Extremwertaufgaben

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, Funktionenschar

aaaha aktiv_icon

21:04 Uhr, 07.02.2011

Hallo :-)
ich muss folgende Aufgabe machen:
Gegeben ist die Funktionenschar

f

mit

f (x) = - \frac{1}{3} \cdot k \cdot x^{3} + x

a)

Berechne die Nullstellen. Wie viele Nullstellen hat jeder Graph der Schar in Abhängigkeit von

k

b)

Untersuche

f

auf lokale Hoch- und Tiefpunket.
c)Alle Exrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion. Ermittle die Gleichung der Ortslinie.

zu a):ich habe die Nullpunkte

x = 0 \lor x = \sqrt{\frac{3}{k}} \lor x = - \sqrt{\frac{3}{k}}

der Graph hat also zwei Nullstellen in Abhängigkeit von

k

.

zu b)f´(x)=-k*x^2+1

f"(x)=-2*k*x

f´(x)=0

\Leftrightarrow - k \cdot x^{2} + 1 = 0

x = \frac{\sqrt{1}}{k} \lor x = - \frac{\sqrt{1}}{k}

ok ist das so weit richtig und wenn ja... dann weiß ich nicht wie es weiter geht, denn mit

\frac{\sqrt{1}}{k}

kann ich leider nicht weiterrechnen.
Ich würde mich über eure Hilfe freuen. Danke im voraus :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

michael777 aktiv_icon

21:12 Uhr, 07.02.2011

a)

für

k < 0

gibts nur eine Nullstelle

(0 | 0)

für

k > 0

gibts drei Nullstellen

zu

b)

für

k < 0

gibts keine Extrempunkte
wegen

- k x^{2} + 1 = 0

für

x = \sqrt{(\frac{1}{k})}

ist

f'' < 0,

hier gibts einen HP

für

x = - \sqrt{(\frac{1}{k})}

ist

f'' > 0,

hier gibts einen TP

michael777 aktiv_icon

21:22 Uhr, 07.02.2011

c)

Ortskurve der Extrempunkte

aus erster Ableitung

= 0 :

x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}

\Rightarrow k = \frac{1}{x^{2}}

k

in_

f (x)

eingesetzt:

y = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + x = - \frac{1}{3} x + x = \frac{2}{3} x

die Extrempunkte liegen auf der Geraden

y = \frac{2}{3} x

aaaha aktiv_icon

21:24 Uhr, 07.02.2011

Danke
aber wie bekomme ich denn die y-Werte raus:

f (\frac{\sqrt{1}}{k}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{k} + \frac{\sqrt{1}}{k}

ich weiß nicht wie man das auflösen kann.

michael777 aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.02.2011

der y-Wert stimmt (bis auf die Schreibweise), lässt sich aber noch zusammenfassen:

y = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{2}{3 \sqrt{k}}

aaaha aktiv_icon

21:31 Uhr, 07.02.2011

warum kann man denn die Wurzen in den Nenner verschieben

michael777 aktiv_icon

21:32 Uhr, 07.02.2011

\sqrt{(\frac{1}{k})} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}}

aaaha aktiv_icon

21:35 Uhr, 07.02.2011

Danke für deine Hilfe
Lg aaaha

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