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Funktionseigenschaften prüfen(Injektiv,surjektiv)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

DerFuchs1337 aktiv_icon

16:38 Uhr, 29.02.2016

Hallo liebe Community,

ich brauche bei folgenden Funktionen Hilfe, jeweils zu zeigen dass sie injektiv/surjektiv sind.
Widerlegen ist ja simpel, falls eine Eigenschaft nicht erfüllt ist.

1.

f (x) = - 2 x + 4

mit Abbildungsbereich

R

und

R

\Rightarrow

Wie zeige ich hier dass die Funktion bijektiv ist ?
Injektiv habe ich wie folgt versucht:

- 2 x 1 + 4 = - 2 x 2 + 4

- 2 x 1 = - 2 x 2

x1#x2

Ist das die richtige Vorgehensweise um Injektivität zu zeigen? Bei den folgenden Funktionen, welche injektiv sind bin ich genauso vorgegangen.

2.

f (x) = x^{2} + 1

(Abbildungsbereich von -unendlich bis

0,

auf 1 bis unendlich)

\Rightarrow

ist injektiv, nicht surjektiv. surjektiv habe ich durch ein Gegenbeispiel widerlegt und somit gezeigt, dass es für ein

y

element des Wertebereiches kein Urbild gibt.

Falls ich in 1 das richtige Verfahren angewandt habe um Injektivität zu zeigen brauche ich hier keine Hilfe mehr.

3.

f (x) = x (x + 1)

mit Abbildungsbereich von den Natürlichen Zahlen auf die Natürlichen Zahlen

\Rightarrow

hier habe ich Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen, womit Bijektivität doch gezeigt wäre, oder? Da nur eine bijektive Funktion eine Umkehrfunktion hat..

und als letztes
4.

f (x) = x + {(- 1)}^{x}

(Abbildungsbereich wie bei

3)

\Rightarrow

hier habe ich Injektivität bereits widerlegt, aber wie zeige ich die surjektivität?

danke für eure hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

17:02 Uhr, 29.02.2016

> 1

f (x) = - 2 x + 4

mit Abbildungsbereich

R

und

R

>

Ist das die richtige Vorgehensweise um Injektivität zu zeigen?
Wenn das in der letzte Zeile

x_{=} x_{2}

lauten soll, ja.
Ich würde beginnen mit

f (x_{1}) = f (x_{2})

und Implikationspfeile verwenden. Denn die Injektivität bedeutet ja

\forall x_{1}, x_{2} \in ℝ : f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

Und was ist nur mit der Surjektivität?

\forall y \in ℝ \exists x \in ℝ : f (x) = y

Dazu musst du doch nur die Gleichung

y = - 2 x + 4

nach

x

auflösen und hast damit nicht nur gezeigt, dass es für jedes

y

ein (eindeutiges) Urbild

x

gibt sondern kannst sogar angeben, wie man es ermittelt.

>

surjektiv habe ich durch ein Gegenbeispiel widerlegt und somit gezeigt, dass es für ein

y

element des Wertebereiches kein Urbild gibt.
Wirklich? Die Abbildung is nach deinen Angaben eine von

(- \infty; 0] \to [1; \infty)

. Für welches

y \in [1; \infty)

gibt es also kein Urbild?

>

Falls ich in 1 das richtige Verfahren angewandt habe um Injektivität zu zeigen brauche ich hier keine Hilfe mehr.
Ja, kannst du genau so machen. Aber nur, weil die Grundmenge auf

(- \infty; 0]

eingeschränkt ist kann man aus

x_{1}^{2} = x_{2}^{2}

folgern, dass auch

x_{1} = x_{2}

gilt!

>

⇒ hier habe ich Probleme die Umkehrfunktion zu bestimmen
Gut so!
Die Bilder sind doch immer das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen. Lässt sich jede natürliche zahl so darstellen?. ZB die Primzahlen? kann man 8 so darstellen?

ad

4)

Überlege dir, was die Abbildung im Endeffekt leistet: Eine gerade Zahl wird auf die nächsthöhere ungerade Zahl abgebildet (zB

2 \mapsto 3, 6 \mapsto 7,

eine ungerade Zahl auf die nächstniedrige gerade Zahl (zB

1 \mapsto 0, 7 \mapsto 6)

. Versuche nun eine Abbildung zu basteln, die das Umgekehrte leistet.

R

DerFuchs1337 aktiv_icon

08:47 Uhr, 01.03.2016

In der letzten zeile soll es heißen

x 1

Ungleich

x 2,

damit die Definition erfüllt ist. Verstehe nicht warum du am ende

x 1 = x 2

setzt?

Bei der zweitletzten Funktion da der Abbildungsbereich die natürlichen Zahlen sind gilt also doch keine surjektivitaet, dh es gibt keine umkehrfunktion? Kann ich das so begründen, dass die natürlichen zahlen keine zwischenräume anders als die reellen Zahlen haben?

Erstmal danke für die hilfe, ich melde mich wenn ich es nochmal harkt.

ledum aktiv_icon

12:18 Uhr, 01.03.2016

"In der letzten zeile soll es heißen

x 1

Ungleich

x 2,

damit die Definition erfüllt ist. Verstehe nicht warum du am ende x1=x2"
Nein, sieh die Def von injektiv noch mal nach!

R

hat recht
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

12:40 Uhr, 01.03.2016

Hmm. Die Definition ist doch, dass wenn

x 1

Ungleich

x 2

impliziert dass diese stets unterschiedliche funktionswerte haben. Ehrlich gesagt verstehe ich nicht warum dann am Ende

x 1 = x 2

bei meinem Prüfungsverfahren stehen soll, da dies doch dann impliziert dass die Funktionswerte identisch sind und somit Injektivitaet widerlegt?

Noch eine frage: bei der letzten Funktion kriege ich es gerade nicht gebacken

y = x + {(- 1)}^{x}

nach

x

umzustellen.. Darf ich den rechten teil einfach abziehen?

Roman-22

17:02 Uhr, 01.03.2016

x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})

ist gleichwertig mit

f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}

>

Ehrlich gesagt verstehe ich nicht warum dann am Ende

x 1 = x 2

bei meinem Prüfungsverfahren stehen soll,
Weil du von

- 2 x_{1} + 4 = - 2 x_{2} + 4,

also von

f (x_{1}) = f (x_{2})

ausgegangen bist.

Du hättest auch von

x_{1} \neq x_{2}

ausgehen können und dann hättest du eben zeigen müssen, dass

- 2 x_{1} + 4 \neq - 2 x_{2} + 4

ist.

Was die letzte Funktion anlangt, da hab ich dir doch schon geraten, nicht zu versuchen, die Formel mit Umformungen nach

x

umzustellen, sondern die Anschauung walten zu lassen, indem du dir klar machst, was die Abbildung eigentlich leistet (und das hab ich dir ja auch verdeutlicht).

R

DerFuchs1337 aktiv_icon

19:54 Uhr, 02.03.2016

Ich schreibe nochmal alles was ich zu den Funktionen geprüft habe auf, und hoffe dass
mir jemand die Korrektheit bestätigen kann/Fehler korrigieren kann.

Da wir in der Vorlesung folgende Definition festgelegt haben: x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)
werde ich diese verwenden, um Injektivität zu zeigen.

1 .) f (x) = - 2 x + 4

ist injektiv und surjektiv
injektiv: für alle

x 1, x 2

element des Definitionsbereichs gilt: x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)

- 2 x 1 + 4 = - 2 x 2 + 4

x1≠x2

surjektiv: für alle

y

element Wertebereich existiert mindestens ein

x

element des Definitionsbereichs für das gilt:

f (x) = y

y = - 2 x + 4

- \frac{y}{2} + 2 = x

f

injektiv und surjektiv existiert umkehrfunktion

f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2} + 2

2 .) f (x) = x^{2} + 1

Habe ich genau wie oben gezeigt.

3 .)

Hier habe ich noch ein paar Unklarheiten.

f (x) = x^{2} - 2 x - 1

Durch den im ersten Post genannten Definitionsbereich gilt:
Injektivität & Surjektivität

injektiv:

x 1^{2} - 2 x 1 - 1 = x 2^{2} - 2 x 2 - 1

x 1^{2} - 2 x 1 = x 2^{2} x 2

würde hier schon das ungleich folgen oder dürfte ich noch schlussfolgern

x 1

≠

x 2

?

surjektiv: hier kann ich zwar bestimmen wie das Urbild jedes

y

gebildet wird, wenn ich allerdings in die Umkehrfunktion dann ein beliebiges

y

einsetze, bekomme ich einen falschen

x

wert raus.. rechenfehler?

y = x^{2} - 2 x - 1

y + 2 x + 1 = x^{2}

√(y+2x+1)=x

d . h

f^-1(x)=√(x+2x+1)

Nun folgendes Problem:

f (1) = - 2

ABER

f^{- 1} (- 2) =

keine lösung ???

4 .) f (x) = x (x + 1) f

injektiv und nicht surjektiv

surjektiv habe ich durch einsetzen eines Gegenbeispiels widerlegt,

d . h

wie oben erwähnt eine beliebige Primzahl ausgewählt und dafür gezeigt, dass diese kein Urbild hat. Denn dann müsste aus dem Definitionsbereich eine Dezimalzahl eingesetzt werden, und Dezimalzahlen sind bekanntlich keine Elemente der Menge der Natürlichen Zahlen. Würde das so als Widerspruch genügen?

Injektivität:

x 1 (x 1 + 1) = x 2 (x 2 + 1)

x 1^{2} + x 1 = x 2^{2} + x 2

Selbes Problem wie bei

3 .)

kann ich direkt daraus folgern, dass

x 1

ungleich

x 2

ist also alle

x 1, x 2

Element Definitionsbereich auf unterschiedliche

y

werte abbilden?

d . h

x1≠x2 ?

5 .)

Hier harkt es leider auch noch

: (

ich habe die Natürlichen Zahlen sowohl als Wertebereich als auch als Definitionsbereich. Überlegung:

f (x) = x + {(- 1)}^{x}

ist nicht injektiv , aber surjektiv.

Surjektiv kriege ich leider nicht gebastelt, wäre lieb wenn mir jemand das mal auflösen könnte und ich es mir dann ansehen kann.

Zu injektiv: Hier bin ich ein wenig unsicher. Ich habe versucht ein Gegenbeispiel zu finden,

d . h

zu zeigen dass zB der

y

Wert an der Stelle

x = 1

nochmal von einem anderen Wert getroffen wird, allerdings ist mir aufgefallen, dass dieses zweite

x

eine Dezimalzahl sein müsste, aber Dezimalzahlen sind nicht Element der natürlichen Zahlen

\Rightarrow f

ist doch injektiv?

Noch mal eine extra Frage:

ich habe noch eine Funktion gegeben mit f(x)=ax+sign(x)

Ich weiß für

a = 0

ist

f

weder injektiv noch surjektiv.
für

a > 0

injektiv, und für

a < 0

surjektiv. Könnte mir auch noch jemand sagen wie man das formal beweist / zeigen? Wir hatten das noch nicht in der Vl und aus dem internet geht es für mich nicht klar hervor, wie ich zb y=ax+sign(x) für

a > 0

nach

y

umstellen soll, wegen dem sign(x).

Wäre es formal inordnung für die signum funktion so vorzugehen? also einfach für a gegen unendlich, minus unendlich und 0 einen Graph skizzieren und dann die Beweise?

ledum aktiv_icon

01:55 Uhr, 03.03.2016

Hallo
Hallo

f (x) = x^{2} + 1

genau wie oben gezeigt verstehe ich nicht, oben ist doch eine gerade die die Abildung geht von

ℝ

nach

ℝ

ob du es also richtig gemacht hast sehe ich nicht. auch wie du in

1)

aus

x_{1} \neq x_{2}

folgerst

- 2 x_{1} + 4 \neq - 2 x_{2} + 4

es ist fast immer leichter zu zeigen aus

f (x_{1}) = f (x_{2})

folgt

x_{1} = x_{2}

deine Umkehrfunktion in 3 ist falsch, in

x =

hast du noch

x

und

y

stehen und dann plötzlich nur noch y?

x^{2} - 2 x - 1 = {(x - 1)}^{2} - 2

(quadratische Ergänzung! dann

f^{- 1}

finden.
zu

5)

wieso nicht injektiv? kannst du 2 gleiche Funktionswerte angeben mit verschiedenen

x

Werten?
Gruß ledum

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