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Funktionsgleichung

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Wie berechne ich das?

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20:32 Uhr, 17.06.2010

Die Temperaturdifferenz zwischen der Zimmertemperatur und der Temperatur einer heißen Flüssigkeit beträgt zu Beginn der Messreihe 60° C. Sie wird im Abstand von 5 Minuten jweils erneut gemesen:

Temperaturdifferenz:

60483931252016

Zeit

051015202530

a)

Zeige, dass es sich angenähert um eine exponentielle Abnahme handelt

b)

Bestimme die Funktionsgleichung für den Abkühlungsprozess

c)

Wann beträgt die Temperaturdifferenz 35°

C,

wann 0° C?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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20:34 Uhr, 17.06.2010

Temperaturdifferenz:

60; 48; 39; 31; 25; 20; 16;

Zeit:

0; 5; 10; 15; 20; 25; 30;

hoffmale

20:52 Uhr, 17.06.2010

a) :

Als erstes solltest du die Verhältnisse zweier aufeinander folgender Temperaturwerte miteinander vergleichen, also

\frac{48}{60}, \frac{39}{48}, \frac{31}{39}

usw. Wenn diese Verhältnisse annähernd gleich sind, dann ist es sehr Wahrscheinlich, dass ein exponentielles Wachstum/eine exponentielle Abnahme handelt.

\frac{48}{60} = 0,8

\frac{39}{48} = 0,8125

\frac{31}{39} = 0,7948 . .

~ 0,8 \Rightarrow

exponentielle Abnahme

Zu

b) :

Eine allgemeine Exponentialfunktion hat die Form

f (x) = b \cdot a^{x}

Du nimmst jetzt 2 Punkte

(z

. B.

(0 | 60)

und

(5 | 48))

und setzt diese in die allgemeine Exponentialfunktion ein. Hier wäre das jetzt:

60 = b \cdot a^{0}

48 = b \cdot a^{5}

Durch Umstellen dieser beiden Gleichungen kommt du auf a und

b

und kriegst so die gesuchte Funktion.

60 = b

\Rightarrow 48 = 60 \cdot a^{5}

a^{5} = 0,8

a = \sqrt[5]{0,8} \approx 0,95635

\Rightarrow f (x) = 60 \cdot {0,95635}^{x}

oder (genauer):

f (x) = 60 \cdot {(\sqrt[5]{0,8})}^{x} = 60 \cdot {0,8}^{0,2} x

c)

Für 35° setzt du die zuvor bestimmte Funktion mit 35° gleich und stellst nach

x

um:

f (x) = 35

60 \cdot {(\sqrt[5]{0,8})}^{x} = 35

{(\sqrt[5]{0,8})}^{x} = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}

x \cdot ln (\sqrt[5]{0,8}) = ln (\frac{7}{12})

\frac{x}{5} \cdot ln (0,8) = ln (7) - ln (12)

\frac{x}{5} = \frac{ln (7) - ln (12)}{ln (0,8)}

x = 5 \cdot \frac{ln (7) - ln (12)}{- ln (5) + ln (4)} \approx 12,077

\Rightarrow

Nach ungefähr

12

Minuten beträgt die Temperaturdifferenz 35°

Eine Temperaturdifferenz von 0° wird nie erreicht, jedoch geht der Wert von

f (x)

für sehr große

x

immer mehr gegen 0 da

a < 1

lim_{x \to + \infty} (60 \cdot {0,8}^{0,2} x) = 0

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20:57 Uhr, 17.06.2010

Kann mir jemand die

b

ausrechnen?

hoffmale

20:59 Uhr, 17.06.2010

60 = b \cdot a^{0}

a^{0} = 1

\Rightarrow 60 = b \cdot 1

b = 60

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21:00 Uhr, 17.06.2010

Wie lautet jetzt die Funktionsgleichung für den Abkühlungsprozess?

kartal50 aktiv_icon

21:13 Uhr, 17.06.2010

Kann mir jemand bitte die komplette Aufgabe ausrechnen, also

a - c

.
Das wäre wirklich sehr lieb, weil ich am Samstag eine Klasur schreiben!

hoffmale

22:54 Uhr, 17.06.2010

Ich hab mal in meinen allgemeinen Lösungsweg deine Werte eingesetzt... Viel Spaß damit

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07:59 Uhr, 18.06.2010

Ich habe es immer noch nicht verstanden:( hilfe!

Edddi aktiv_icon

09:33 Uhr, 18.06.2010

...hoffmale hat dir eigentlich alles gezeigt.

Sollte der Funfktionsverlauf (Temp.-diff zu Zeit) exponentiell sein, so sollte die Form etwa so sein:

T (t) = a \cdot e^{- b \cdot t}

Der Quotient zweier Funktionswerte ist dann:

\frac{T (t_{1})}{T (t_{2})} = \frac{a \cdot e^{- b \cdot t_{1}}}{a \cdot e^{- b \cdot t_{2}}} = \frac{e^{- b \cdot t_{1}}}{e^{- b \cdot t_{2}}} = e^{- b \cdot t_{1} + b \cdot t_{2}} = e^{b \cdot (t_{2} - t_{1})}

Da die Zeitdifferenz bei allen Messpunkten gleich ist

(5)

muss aucgh der Quotient annähernd immer gleich sein!

Es ist also

\frac{60}{48} \approx \frac{48}{39} \approx \frac{39}{31} \approx . .

\approx 1,25

damit lässt sich dann auch schon wunderbar die Unbekannte

b

berechnen:

1,25 = e^{b \cdot (t_{2} - t_{1}) = e^{5 \cdot b}}

ln (1,25) = 5 \cdot b

\frac{ln (1,25)}{5} = b = 0,0446

Deine Funktion sollte also so aussehen:

T (t) = a \cdot e^{- 0,0446 \cdot t}

...jetzt ist wieder die Unbekannte a da, aber die könne wir mit Hilfe der gegebenen Punkte (durch einsetzen) berechnen.

60 = a \cdot e^{- 0,0446 \cdot 0}

a = 60

Somit ist:

T (t) = 60 \cdot e^{- 0,0446 \cdot t}

...wobei

T

die Temp.-differenz darstellt.

Einsetzen von

T (t) = 35

liefert:

35 = 60 \cdot e^{- 0,0446 \cdot t}

\frac{35}{60} = e^{- 0,0446 \cdot t}

\frac{12}{7} = e^{0,0446 \cdot t}

ln (\frac{12}{7}) = 0,0446 \cdot t

t = \frac{ln (\frac{12}{7})}{0,0446} = 12,08

;-)

kartal50 aktiv_icon

10:32 Uhr, 18.06.2010

Danke schoen. Aber wie bist du auf die

127

gekommen?

CKims aktiv_icon

10:48 Uhr, 18.06.2010

da steht nichts mit

127

sondern

12

durch 7.

ich glaube du hast ein anzeigeproblem der formeln.

geht mal hier rein

http//www.onlinemathe.de/hilfe/software

du musst noch irgendwelche tools installieren, damit die formeln richtig angezeigt werden. dann wird alles auch ein wenig uebersichtlicher.

lg

kartal50 aktiv_icon

16:06 Uhr, 18.06.2010

Okay, danke. Jetzt erscheinen die Ergebnisse vollstöndig ;-)

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