Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Funktionsgleichung eines Polynoms ermitteln

Funktionsgleichung eines Polynoms ermitteln

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

cypher aktiv_icon

00:52 Uhr, 02.05.2011

Hallo liebe freunde,
schön bei euch zu sein.
Währe sehr dankbar für Ansätze um diese Aufgabe zu lösen
Aufgabe:

Ein Polynom dritten Grades berührt bei

x = 1

die x-Achse und hat bei

x =

–1/3 einen
Wendepunkt. Bei der zweiten Nullstelle schneidet die Kurve die x-Achse mit der Steigung

8 .

Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?

Meine idee:

ich müsste die Ableitungen betrachten und Rückwerts die Gleichungen ermitteln.

f (x) =

ax^3+bx^2+cx+d

f´(x) = 3ax^2+2bx+c

f´´(x) = 6ax+2b

da ja bei geraden gilt:

f (x) =

mx+b und

m

die steigung ist, habe ich ja in der zweiten ableitung den Wert für

a,

nämlich

8!

Richtig?
Also f´´(x)

= 6 \cdot 8 x + 2 b \to

f´´(x)

= 48 x + 2 b

Und ich habe ja auch schon ein Punkt der gleichung. Nämlich

P 1 (\frac{1}{0}) .

\cup r

wie komme ich auf die eigentliche Polynomgleichung???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pleindespoir aktiv_icon

01:45 Uhr, 02.05.2011

Ein Polynom dritten Grades berührt bei x=1 die x-Achse

0 = f (1)

und auch

0 = f (1)

wegen "berührt" - geht nur wenn die Steigung die der x-Achse hat

und hat bei x= –1/3 einen Wendepunkt.

0 = f ʺ (- ⅓)

Bei der zweiten Nullstelle schneidet die Kurve die x-Achse mit der Steigung 8.

0 = f (x_{0})

8 = f ʹ (x_{0})

was am noch wissen sollte, ist, dass die erste Nullstelle, die oben erwähnt ist, eine doppelte ist - da dort die x-Achse berührt und nicht geschnitten wird.

So - und jetzt die Gleichungen mit Werten gefüllt und Gleichungssystem erstellen!

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f ´ (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

f ´ ´ (x) = 6 a x + 2 b

cypher aktiv_icon

01:52 Uhr, 02.05.2011

Vielen dank für die antwort.
Kannst du mir kurz erklären wie du auf

"Bei der zweiten Nullstelle schneidet die Kurve die x-Achse mit der Steigung

8 .

0=f(x0)"

kommst? Der Rest leuchtet ein!

pleindespoir aktiv_icon

02:03 Uhr, 02.05.2011

ich nenne die Nullstelle

x_{0}

und der Funktionswert einer Nullstelle ist gewöhnlich eben Null - sonst wäre es ja keine Nullstelle.

Wie sich das ganze nachher im Gleichungssystem macht werden wir sehen - zunächst ist der Wert für die Nullstelle noch als unbekannt zu behandeln.

pleindespoir aktiv_icon

02:07 Uhr, 02.05.2011

Gleichungssystem erstellen:

0 = f (1)

0 = a \ c d o t 1^3 + b \ c d o t 1^2 + c \ c d o t 1 + d

0 = f' (1)

f ´ (x) = 3 a \ c d o t 1^2 + 2 b \ c d o t 1 + c

0 = f'' (- \ f r a c 13)

0 = 6 a \ c d o t - \ f r a c 13 + 2 b

0 = f (x_0)

f (x) = a x_0^3 + b x_0^2 + c x_0 + d

8 = f' (x_0)

f ´ (x) = 3 a x_0^2 + 2 b x_0 + c

cypher aktiv_icon

02:15 Uhr, 02.05.2011

Ok wenn ich die Gleichungen jetzt erstelle kommt folgendes:

f (1) = 0 \to a + b + c + d = 0

f´´(-1/3)

= 0 \to 6 a (- \frac{1}{3}) + 2 b = 0

entspricht

- 2 a + 2 b = 0

f´(x0)

= 8 \to 3

ax0

+

2bx0

+ c = 8

das letztere bringt mich ja aber nicht weiter weil

x

ja immernoch unbekannt ist, oder sehe ich das falsch?

Du warst schneller!

Also habe ich letztenendes 5 gleichungen und mus durch adiionsverfahren die unbekannten so eliminieren, sodass ich auf unbekannte bestimmen kann?
Das

x 0

verwirrt mich ein bischen.

Also habe ich folgende gleichungen:

a + b + c + d = 0

- 2 a + 2 b = 0

3 ax0

+

2bx0

+ c = 8

3 ax0

+

2bx0

+ c = 0

3 a + 2 b + c = 0

pleindespoir aktiv_icon

02:24 Uhr, 02.05.2011

immerhin wissen wir jetzt schon mal, dass a=b sein muss.
Entsprechend mal die Gleichungen bearbeiten.

Es geht in kleinen Schritten - es bringt einen schon weiter- nur nicht sofort zum Ergebnis.

pleindespoir aktiv_icon

02:26 Uhr, 02.05.2011

Deine beiden (verwirrenden) Gleichungen mit

x_{0}

sind falsch.

cypher aktiv_icon

02:36 Uhr, 02.05.2011

Ok es müsste jetzt so richtig sein:

a + b + c + d = 0

−2a+2b=0
ax0^3+bx0^2+cx0+d

= 0

3ax0^2+2bx0+c

= 8

3 a + 2 b + c = 0

pleindespoir aktiv_icon

02:38 Uhr, 02.05.2011

Jetzt fehlt die erste , aber Du kannst das gleich nochmal bearbeiten und weitermachen:

setze die Information ein, die wir bis jetzt gewonnen haben

pleindespoir aktiv_icon

02:45 Uhr, 02.05.2011

Bevor ich einschlafe:

I:

0 = a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + d

II:

0 = 3 a \cdot 1^{2} + 2 b \cdot 1 + c

III:

0 = 6 a \cdot - ⅓ + 2 b

IV:

0 = a x_{0}^{3} + b x_{0}^{2} + c x_{0} + d

8 = 3 a x_{0}^{2} + 2 b x_{0} + c

aus III schliessen wir a=b

das wird in die anderen Gleichungen eingesetzt und dann geguckt, ob mer schlauer wird ...

cypher aktiv_icon

00:15 Uhr, 03.05.2011

Ok wenn jetzt

a = b

ist dann sehen ja die gleichungen so aus:

I:

0 = 2 a + c + d

II: f´(x)

= 5 a + c

III:

a = b

IV:

f (x) =

ax0^3

+

ax0^2 +cx0

+ d \to

ax^5

+ x 0 + d = 0

V :

f´(x)= 3ax0^2

+

2ax0

+ c

jetzt könnte ich II nach

c = - 5 a

umformen und in I einsetzen!

I:

0 = 2 a - 5 a + d

0 = - 3 a + d

weiter komme ich nicht!

pleindespoir aktiv_icon

23:58 Uhr, 03.05.2011

0 = 2 a + c + d

II:

0 = 5 a + c

IV:

0 = a x_{0}^{3} + a x_{0}^{2} + c x_{0} + d

8 = 3 a x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + c

Aus II:

c = - 5 a

und einsetzen:

I:

0 = 2 a - 5 a + d

IV:

0 = a x_{0}^{3} + a x_{0}^{2} - 5 a x_{0} + d

8 = 3 a x_{0}^{2} + 2 a x_{0} - 5 a

Aus I:

d = 3 a

und einsetzen:

IV:

0 = a x_{0}^{3} + a x_{0}^{2} - 5 a x_{0} + 3 a

8 = 3 a x_{0}^{2} + 2 a x_{0} - 5 a

pleindespoir aktiv_icon

00:03 Uhr, 04.05.2011

IV:

0 = a x_{0}^{3} + a x_{0}^{2} - 5 a x_{0} + 3 a

8 = 3 a x_{0}^{2} + 2 a x_{0} - 5 a

a vorklammern:

IV:

0 = a (x_{0}^{3} + x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 3)

8 = a (3 x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 5)

IV durch

a \neq 0

teilen:

IV:

0 = x_{0}^{3} + x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 3

Nullstelle(n) suchen ...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

884445

883618

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?