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Funktionsräume, Vektorraum, Lineare Abhängigkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktionsräume, Lineare Abhängigkeit, Vektorraum

studentin10 aktiv_icon

18:04 Uhr, 14.11.2015

Hallo, ich brauche unbedingt Hilfe bei dieser Aufgabe! Ich weiß leider nicht wie ich das machen soll. Muss ich das irgendwie zeichnen?

DrBoogie aktiv_icon

18:47 Uhr, 14.11.2015

Was genau kannst Du nicht?
In a) ist die Antwort - ja, sie sind lin. unabhängig.
In b) nutze die Formel

\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) = \cos (a + b)

In c) ist es nur einfache Berechnung, Du musst nur wissen, wass

< f_{2} ∣ f_{3} >

bedeutet.

studentin10 aktiv_icon

20:06 Uhr, 14.11.2015

Ich kenne den Begriff der Linearen Abhängigkeit nur bei Vektoren. Bei Funktionen und Graphen kann ich mir das gar nicht vorstellen

: (

DrBoogie aktiv_icon

20:15 Uhr, 14.11.2015

Jeder Funktion ist auch ein Vektor, in dem Vektorraum der Funktionen.
Die Definition ist dieselbe. Du musst zeigen, dass wenn

λ_{1} f_{1} + λ_{2} f_{2} + λ_{3} f_{3} + λ_{4} f_{4} = 0

, dann

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = λ_{4} = 0

.
Dafür kann man einfach geschickt

5

Punkte wählen und zeigen, dass das System aus

5

Gleichungen

λ_{1} f_{1} + λ_{2} f_{2} + λ_{3} f_{3} + λ_{4} f_{4} = 0

in diesen Punkten unlösbar ist.

studentin10 aktiv_icon

20:35 Uhr, 14.11.2015

Ich habe Dir soeben eine Nachricht gesendet bezüglich des Lösungsweges.

studentin10 aktiv_icon

20:45 Uhr, 14.11.2015

Ich verstehe das nicht. Soll ich für das

x

eine Bsp 1 einsetzen?

DrBoogie aktiv_icon

22:21 Uhr, 14.11.2015

Ok.
Sei jetzt

λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cos (x) + λ_{3} \sin (x) + λ_{4} \cos (2 x) = 0

(*).
Damit ist natürlich gemeint, dass es in allen Punkten aus

[0, 2 π]

Null ist.
Nehmen ein paar Punkte (genau

4

, warum - wird später klar), und zwar solche, wo wir exakte Werte von Sinus und Kosinus wissen. Also, z.B.

x_{1} = 0

x_{2} = π / 4

x_{3} = π

x_{4} = 3 π / 2

. Die Gleichung (*) muss in allen diesen Punkten erfüllt sein, das gibt uns ein System aus

4

Gleichungen:

λ_{1} + λ_{2} \cos (0) + λ_{3} \sin (0) + λ_{4} \cos (0) = 0

λ_{1} + λ_{2} \cos (π / 4) + λ_{3} \sin (π / 4) + λ_{4} \cos (π / 2) = 0

λ_{1} + λ_{2} \cos (π) + λ_{3} \sin (π) + λ_{4} \cos (2 π) = 0

λ_{1} + λ_{2} \cos (3 π / 2) + λ_{3} \sin (3 π / 2) + λ_{4} \cos (3 π) = 0

oder nach der Berechnung von Sinus und Kosinus:

λ_{1} + λ_{2} + λ_{4} = 0

λ_{1} + λ_{2} \frac{1}{\sqrt{2}} + λ_{3} \frac{1}{\sqrt{2}} = 0

λ_{1} - λ_{2} + λ_{4} = 0

λ_{1} - λ_{3} - λ_{4} = 0

Aus der ersten und dritten Gleichung haben

λ_{2} = 0

, dadurch vereinfacht sich das System:

λ_{1} + λ_{4} = 0

λ_{1} + λ_{3} \frac{1}{\sqrt{2}} = 0

λ_{1} + λ_{4} = 0

(kann jetzt weg, da doppelt)

λ_{1} - λ_{3} - λ_{4} = 0

Aus der ersten Gleichung folgt

λ_{4} = - λ_{1}

. Einsetzen in andere Gleichungen
ergibt

λ_{1} + λ_{3} \frac{1}{\sqrt{2}} = 0

2 λ_{1} - λ_{3} = 0

Aus der letzten Gleichung

λ_{3} = 2 λ_{1}

. Einsetzen in die erste Gleichung
ergibt

λ_{1} (1 + \frac{2}{\sqrt{2}}) = 0

und damit

λ_{1} = 0

, woraus

λ_{3} = 0

und

λ_{4} = 0

folgt. Also sind alle

λ_{i}

Null, was die lineare Unabhängigkeit von

f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}

beweist.

4

Punkte wurden genommen, um

4

Gleichungen für

4

unbekannte zu bekommen, denn ein homogenes System aus

4

Gleichungen für

4

Unbekannte hat im regulären Fall (also beim maximalen Rang der zugehörigen Matrix) nur die triviale Null-Lösung. Dass wir einen regulären Fall haben, war ein bisschen Glück (aber nur ein bisschen, es ist in Wirklichkeit schwierig,

4

Punkte so zu wählen, dass kein regulärer Fall entsteht).

studentin10 aktiv_icon

01:06 Uhr, 15.11.2015

Vielen Dank für die ganze Arbeit!! Es tauchen bei mir jedoch kleine Verständnisfragen auf: woher weiß ich was

cos π

und

sin π

sind? ISt das dann dasselbe?(also

cos = sin)

. Erst wenn ich das weiß, dann hab ich die aufgabe

a)

verstanden. Weil im LGS lösen bin ich zum Glück fit.

DrBoogie aktiv_icon

09:40 Uhr, 15.11.2015

Was

\cos (π)

ist, kann Dir ein Taschenrechner oder ein Onlinerechner oder eine Tabelle sagen (z.B. unter "Wichtige Funktionswerte" in de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus:

\cos (π) = - 1

.
Vielleicht hilft es Dir zu wissen, dass

π

dasselbe wie

180

Grad ist. Und Kosinus und Sinus sind nicht gleich (außer in besonderen Punkten), z.B. gilt

\sin (π) = 0

.

Und ich muss sagen, das ist schon merkwürdig, wenn eine Studentin so eine Frage stellt. Es ist Schulstoff.

studentin10 aktiv_icon

21:53 Uhr, 16.11.2015

Ich habe die a etwas anders gerechnet und zwar mit lgs. Das ist in dieser hinsicht schwierig weil ich 1/arc(2) habe. Bei der

b

weiß ich nicht wie ich diese Formel auf die aufgabe übertragen soll..

DrBoogie aktiv_icon

21:57 Uhr, 16.11.2015

In b) kannst Du mit Hilfe der Formel zeigen, dass

g = \cos (x - 2 x) - 2 \cos (x) + 3 \sin (x) = \cos (x) - 2 \cos (x) + 3 \sin (x) = - \cos (x) + 3 \sin (x) = - f_{2} + f_{3}

.
Damit

g \in L_{1} (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})

, woraus folgt

L_{1} (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) = L_{1} (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, g)

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