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Funktionsschar

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis

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sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

15:10 Uhr, 18.09.2010

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Gegeben sind die Funktionen fa mit der Gleichung $f a (x) = \frac{a x² + 3}{2 x - 1}; a \in R$
Die Graphen dieser Funktionen fa seien Ga .

c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen Ga auf der y-Achse schneiden.
Weisen Sie nach, dass die Graphen Ga in diesem gemeinsamen Punkt Sy auch eine
gemeinsame Tangente t haben und ermitteln Sie deren Gleichung.

KANN MIR BITTE JEMAND HELFEN. DANKE SCHON MAL!!!

Online-Nachhilfe in Mathematik

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mathemaus999

15:23 Uhr, 18.09.2010

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Hallo,

der erste Teil ist recht einfach. Setze für

x = 0

und berechne damit den Schnittpunkt mit der y-Achse. Du wirst feststellen, dass die y-Koordinate nicht mehr den Scharparameter a enthält. Der Schnittpunkt ist also für alle Funktionen der Schar gleich. Zur Kontrolle

(0; - 3)

Jetzt kennst du den Punkt und kannst mit der Ableitung der Funktion die Steigung der Tangente bestimmen. Da die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse gesucht ist, kennst du auch schon direkt den y-Achsenabschnitt der Tangente/Geraden.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe gilt für die Steigung

m = - 6

und damit für die Tangente

y = - 6 x - 3

Aber rechne auch noch mal selbst nach.

Grüße

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

15:36 Uhr, 18.09.2010

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Können sie mir vielleicht auch noch die Berechung der Steigung geben, denn ich weiß nicht, wie ich das genau noch mal mache.

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mathemaus999

15:47 Uhr, 18.09.2010

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Hallo,

du musst die Quotientenregel anwenden.

f' (x) = \frac{2 \cdot a \cdot x \cdot (2 \cdot x - 1) - (a \cdot x^{2} + 3) \cdot 2}{{(2 \cdot x - 1)}^{2}}

Wenn du das ausrechnest, erhältst du

f' (x) = \frac{2 \cdot a \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot x - 6}{{(2 \cdot x - 1)}^{2}}

Dann für

x = 0

ausrechnen liefert die

- 6

.

Grüße

Frage beantwortet

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

15:49 Uhr, 18.09.2010

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Danke schön.

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

16:29 Uhr, 18.09.2010

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ich habe noch mal eine Frage und zwar wie ich auf den Schnittpunkt

$(0; - 3$ ) für alle Funktionen der Schar komme??

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:38 Uhr, 18.09.2010

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Alle Punkte der y-Achse haben die x-Koordinate Null. Also musst du

f_{a} (0)

berechnen. Da das Ergebnis nicht von a abhängt, verläuft jede Schar durch diesen Punkt.

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

16:42 Uhr, 18.09.2010

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ja das ist mir klar, aber wie komme ich den auf $(0; - 3$ )????

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:45 Uhr, 18.09.2010

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Setze Null in

\frac{a x^{2} + 3}{2 x - 1}

für jedes

x

ein.

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

16:47 Uhr, 18.09.2010

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aber dann wäre es doch +3 und nicht - 3

Antwort

Shipwater

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16:49 Uhr, 18.09.2010

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\frac{3}{- 1} = - 3

Frage beantwortet

sunnylisa17

sunnylisa17 aktiv_icon

16:50 Uhr, 18.09.2010

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achso ok. jetzt habe ich es verstanden. Danke.

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:58 Uhr, 18.09.2010

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