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Funktionsschar mit Winkelhalbierende, b bestimmen

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Funktion, Funktionsschar, Prüfung 2012

mrtayfun007 aktiv_icon

18:20 Uhr, 24.09.2013

Funktion lautet:

h (x) = e^{2 \cdot x} + b

Bestimmen Sie

b

so,dass die zweite Winkelhalbierende eine Normale von Kh ist.

2. Winkelhalbierende ist

Y = - x,

dass würde bedeutet das die 1. Winkelhalbierende eine Tangente an

h (x)

sein musst

(y = x)

. Nur wie kriege ich das rechnerisch heraus ?

h (x) = x

setzen und auflösen nach

b

geht leider nciht, da wir 2 unebkannte Variablen haben

(x

und

b)

.

Bitte um schnelle Antwort.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rhermes aktiv_icon

21:50 Uhr, 24.09.2013

Ich habe mir überlegt:

h ʹ (x)

muss gleich 1 sein. Das führt auf die Gleichung

2 \cdot \exp (2 x) = 1, x = \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})

.
Für die Tangente

f (x) = x + b_{1}

(mit der Steigung 1) gilt:

f (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} + b = \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}) + b_{1}

Also

b_{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}) + b

f (x) = x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}) + b

b

zu bestimmen, löse ich

\exp (2 x) + b = - x

an der Stelle

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})

und erhalte

b = - \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}

Die Lösung ist

h (x) = \exp (2 x) - \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}

mit der Tangente

f (x) = x - \ln (\frac{1}{2})

Hoffentlich einigermaßen verständlich (und richtig) ;-)

rundblick aktiv_icon

22:17 Uhr, 24.09.2013

@rhermes : zu deiner Bemerkung "Hoffentlich .. (und richtig)"

\to

habe ebenfalls dieses Ergebnis

\to b = \frac{1}{2} (ln (2) - 1)

den Lösungsweg dazu könnte man vielleicht auch so beschreiben:

betrachte zuerst mal nur die Kurve

y = e^{2 x}

\to

du kannst ausrechnen

,

in welchem Kurvenpunkt A die Steigung 1 ist

\to

durch diesen Kurvenpunkt kannst du nun eine Parallele

p

y = - x

zeichnen

\to

diese Parallele schneidet die y-Achse in einem Punkt

B (0; y_{B})

\to

verschiebe nun das gesamte Bild (parallel zur y-Achse ) um

b = - y_{B}

h (x) = e^{2 x} - \frac{1}{2} (1 - ln 2)

rhermes aktiv_icon

06:31 Uhr, 25.09.2013

@rundblick, unsere ideen sind identisch, Deine Beschreibung ist eleganter;-)

rundblick aktiv_icon

12:13 Uhr, 25.09.2013

@rhermes :
danke für das "elegante" Kompliment - leider schert sich ja der
Fragesteller offenbar einen Dreck um unsere beiden "schnellen" guten Antworten..

schade um die eingesetzte Zeit .. aber vielleicht interessiert sich ja sonstwer
für Lösungsvorschläge zu dem nicht uninteressanten Problemchen..
Gruss, R.

mrtayfun007 aktiv_icon

20:13 Uhr, 25.09.2013

Hallo und nein natürlich interessiert mich eure Antworten. Hatte nur heute bis

16

Uhr Schule und musste dann noch arbeiten. Habe mir eure Antworten angeschaut und finde beide einfach Klasse und gut erklärt. Jetzt habe ich die Aufgabe dank euch verstanden und möchte mich hiermit nochmals bedanken.

Liebe Grüße

1115257

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