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Funktionenscharen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionenschar, Graph

anonymous

22:15 Uhr, 29.11.2012

Hallo allerseits :-)

Habe Hausaufgaben und steh irgendwie voll auf dem Schlauch.
Es geht um Funktionenscharen.

Die Aufgaben sind folgende:

Für diesen Graphen

\to

fk(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x

1.Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden
2.Bestimmen sie

k

so, dass der Graph von fk an der Stelle

x = 3

einen Extrempunkt hat.
3.Für welchen Wert des Parameters

k

hat der Graph von fk keinen Extrempunkt?
4.Gibt es Parameter

k,

sodass der Graph von fk keinen Wendepunkt hat?

Zu der 1. Aufgabe hab ich überhaupt keine Ansätze

: - (

Nr. 2 muss ich ja erst die Extrempunkte bestimmen indem ich

f' k (x)

gleich 0 setze (kommen total komische Extrempunkte raus...) aber was dann? In fk(x) einsetzen hab ich schon probiert, da kommt irgendwie nichts raus...
Nr. 3 hat wahrscheinlich viel mit der 2. Aufgabe zu tun, da muss

x

von

f' k (x)

gleich 0 sein, aber was dann?
Und 4. hat was mit

f'' k (x)

zu tun, oder?

Vielen Dank im Vorraus, bin ziemlich am verzweifeln

Lg XxXSabiXxX

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

22:28 Uhr, 29.11.2012

"Für diesen Graphen → fk(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x

1.Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden

Zu der 1. Aufgabe hab ich überhaupt keine Ansätze "

Vorschlag:
wähle zwei verschiedene Parameter zB

k = s

und

k = t

und schau mal, ob mögliche Schnittpunkte von

f_{s} (x)

und

f_{t} (x)

unabhängig von den Parametern sind..

probiers

\to . .

anonymous

22:41 Uhr, 29.11.2012

Hab jetzt für

k 0, 1

und 2 eingesetzt, meine Taschenrecher die Graphen zeichnen lassen und es sieht stark so aus, als ob sich alle Graphen in genau den selben 2 Punkten schneiden würden, der kann mir bloß irgendwie die Schnittpunkte nicht ausrechnen... aber ansonsten hab ichs glaube verstanden, muss ichs halt von Hand rechnen.
Vielen Dank! :-)

rundblick aktiv_icon

22:48 Uhr, 29.11.2012

ok
aber du solltest gar keine speziellen Beispielzahlen nehmen,
sondern allgemein für beliebige

s \neq t

rechnen :

f_{s} (x) = f_{t} (x)

also eingesetzt:

- x^{3} + s x^{2} + (s - 1) x = - x^{3} + t x^{2} + (t - 1) x

vereinfache, ordne

. .

= 0

und berechne

x . .

.

probiers also nochmal->

anonymous

22:53 Uhr, 29.11.2012

ups... ähm, bevor ich mich verrechne, wenn ich die Klammer ausmultipliziere (also

(t - 1) x)

ist das dann das gleiche wie xt-x? (ich kann grad gar nix mehr

...)

rundblick aktiv_icon

23:01 Uhr, 29.11.2012

ja,ja .. ist doch richtig ..

und wenn du nun weiter machst, ordnen, zusammenfassen

, . . \to

dann solltest du zB auf sowas kommen:

(s - t) \cdot (x^{2} + x) = 0

und musst dir nun überlegen, was du daraus schliessen kannst,
wenn du weisst, dass

s \neq t

ist...

anonymous

23:04 Uhr, 29.11.2012

Da der Funktion das absolute Glied feht, muss ein gemeinsamer Punkt aller Graphen der Ursprung sein, also

(0 | 0)

Weiters ergibt sich nur für

x = - 1

ein Funktionswert, der unabhängig von

k

ist.
Also ist der zweite gemeinsame Punkt für alle Graphen

(- 1 | 2)

anonymous

23:09 Uhr, 29.11.2012

@Vektorfan:
Ist der 2. Punkt nicht

P (- 1; 2) ...

?

@rundblick:

Wie kommt denn diese Gleichung zustande? wenn ich die fs(x)=ft(x) setze kommt bei mir s-t+sx^2-tx^2=0 raus...

rundblick aktiv_icon

23:10 Uhr, 29.11.2012

x = 0

und

x = - 1

sind die richtigen x-Koordinaten der beiden gesuchten Schnittpunkte

und

(0 | 0)

ist dann einer der gemeinsamen Punkte ..

aber wie kommst du nur auf

(- 1 | 0)

für den zweiten Punkt??

anonymous

23:13 Uhr, 29.11.2012

Da man auch zeigen soll "genau zwei

. .

. " kann man den Beweis indirekt führen.
Angenommen, es gäbe noch einen gemeinsamen Punkt für alle Graphen,

z . B

P (x_{1} | f (x_{1}),

so gilt ja

f (x_{1}) = - x^{3} + k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

bzw. umgeformt

f (x_{1}) = - x^{3} + k \cdot x_{1} (x_{1} + 1) - x_{1}

f (x_{1})

für ALLE

k

den gleichen Wert annehmen soll, muss der Ausdruck

k \cdot x_{1} \cdot (x_{1} + 1)

verschwinden, das ist aber nur für

x = - 1

der Fall. Also gibt es nur die zwei gemeinsamen Punkte

(0 | 0)

und

(- 1 | 2)

anonymous

23:18 Uhr, 29.11.2012

Aber wenn ich in fk(x) für

x = - 1

einsetze und für

k

einen beliebigen Wert, dann kommt da doch für den y-Wert immer 2 raus... oder?

rundblick aktiv_icon

23:19 Uhr, 29.11.2012

@Vektorfan

wenn du dich schon einmischt, dann bitte nicht mit lauter Fehler

nebenbei:
das fängt ja schon an beim (falschen!) Abschreiben :
setz deine Brille auf und schau ganz zu Beginn : da steht zB vor dem

x^{3}

ein Minus
usw,
usw

@ XxXSabiXxX

ja,

(- 1 | 2)

ist der richtige zweite Punkt ..
aber sorry, du hast ja gar nicht mich gefragt..
na ja, so verliert man die Lust...

anonymous

23:20 Uhr, 29.11.2012

f (x) = - x^{3} + k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

f (- 1) = - 1 + k \cdot 1 + (k - 1) \cdot (- 1) = - 1 + k - k + 1 = 0

unabhängig von

k

anonymous

23:23 Uhr, 29.11.2012

@Rundblick
Vielen Dank bezüglich deines provokanten und unhöflichen Verhaltens. Wenn dich ein Abschreibfehler so amüsiert, dann überlasse ich dir gerne das Feld.

anonymous

23:26 Uhr, 29.11.2012

Den Weg der Entstehung der Gleichung versteh ich nicht, aber wenn

s

ungleich

t

ist, dann dürfte in der Klammer

(s - t)

nich 0 rauskommen. Aber was sagt mir das...? Dass die ganze Gleichung ungleich 0 sein kann?

rundblick aktiv_icon

23:31 Uhr, 29.11.2012

@Vektorfan

es ist ja nicht der Abschreibfehler das Problem, sondern deine unnötige Einmischung mit falschen, Verwirrung stiftenden Resultaten..
irgendwie peinlich halt...

da brauchst du nun wirklich dich nicht auch noch beschweren..
und von Höflichkeit reden..

@XxXSabiXxX
sicher wird sich Vektorfan jetzt anstrengen und dir vielleicht richtig
weiterhelfen

viel Vergnügen

anonymous

23:33 Uhr, 29.11.2012

Also, das MINUS:
Der Rechengang hat sich ja nicht verändert.
Die zwei festen Punkte sind

(0 | 0)

und

(- 1 | 2)

Überlegungen siehe oben.

anonymous

23:34 Uhr, 29.11.2012

...Ok? Danke jedenfalls bis hierhin...

anonymous

23:36 Uhr, 29.11.2012

Gern geschehen.
Die weiteren Aufgaben sind etwas leichter.
Gibt es zu

2)

schon Vorschläge?

anonymous

23:37 Uhr, 29.11.2012

Also die Punkte stimmen jetzt so, richtig?
Ich muss jetzt off gehen, muss morgen früh raus. Tut mir leid, freu mich aber dass ihr euch die Mühe gemacht habt und hoffe auf weitere Vorschläge für Lösungsansätze :-).

anonymous

23:39 Uhr, 29.11.2012

ich bin morgen auf jeden fall wieder on :-)

prodomo aktiv_icon

19:23 Uhr, 30.11.2012

Bevor ihr die nächsten Schritte angeht,überprüft bitte

(- 1 | 2) . (0 | 0)

stimmt, aber der zweite Punkt

...

Mathe45

07:54 Uhr, 01.12.2012

Falls die Animation nicht gleich anspringt nochmals aufrufen !

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

anonymous

08:18 Uhr, 01.12.2012

Die Funktion lautet doch

f_{k} (x) = - x^{3} + k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

k \in ℝ

f_{k} (- 1) = - {(- 1)}^{3} + k \cdot {(- 1)}^{2} + (k - 1) \cdot (- 1) = 1 + k - k + 1 = 2

f_{k} (- 1) = 2

unabhängig vom Parameter

k,

daher für alle Graphen.

anonymous

12:38 Uhr, 01.12.2012

Also der Punkt

(- 1; 2)

sollte stimmen, hatten wir im Unterricht auch so.
Die anderen Aufgaben sind jetzt auch geklärt, vielen Dank nochmal an alle die sich die Mühe gemacht haben :-).

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