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Funktionsscharen Nullstellen bestimmen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Funktionsschar, Nullstell

 
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Kasuna

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16:51 Uhr, 06.09.2019

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Guten Tag, ich habe folgende Aufgabe bekommem: f(x)= -3/4x^3+kx^2+(-5k+221/12)x+5/3 , die Aufgabenstellung lautet: Zeigen Sie, dass alle Graphen eine Nullstelle bei x=5 besitzen. Ich habe die Klammer gelöst und herausbekommen -34x3+ kx^2-5kx+221/12x+5/3. Ich wollte das Hornershema anwenden zur Überprüfung der Nullstelle, aber ich finde das X nicht heraus aufgrund des Parameters k, da sowohl 5kx für x1 vorhanden ist und 22112x. Kann mir jemand bei der Lösung der Nullstelle helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
supporter

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16:57 Uhr, 06.09.2019

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Du könntest eine Polynomdivision machen, also den Funktionsterm durch (x-5) teilen.
Dadurch faktorisierst du diesen Term.
Kasuna

Kasuna aktiv_icon

17:05 Uhr, 06.09.2019

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Und warum (x-5) und nicht beispielsweise (x-1)?
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

17:33 Uhr, 06.09.2019

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"Und warum (x-5) und nicht beispielsweise (x-1)?"

Weil bei x=5 eine Nullstelle ist und nicht bei 1

-34x3+kx2+(-5k+22112)x+53=0|12

-9x3+12kx2+(-60k+221)x+20=0

Und jetzt Polynomdivision.

mfG

Atlantik



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ermanus

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17:40 Uhr, 06.09.2019

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Hallo,
wozu soll man denn noch eine Polynomdivision durchführen?
Es soll doch nur gezeigt werden, dass x=5 eine Nullstelle ist, also setzt man
x=5 ein, und sieht, dass 0 herauskommt.
Bei der Gelegenheit merkt man dann auch, dass die beiden k-Terme sich gegenseitig
wegheben, der Wert von k also keine Rolle spielt.
Das Hornerschema anzuwenden ist hier eher ein bisschen unübersichtlich.
Das hast du ja selbst moniert, also einfach direkt in die Funktion einsetzen,
die Klammer auflösen,
ein bisschen Bruchrechung machen oder nach Atlantiks Vorarbeit nennerlos
rechnen -> Fertig!
Gruß nermanus
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

18:15 Uhr, 06.09.2019

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So geht es auch:

fk(x)=-34x3+kx2+(-5k+22112)x+53

f0(x)=-34x3+22112x+53

f1(x)=-34x3+x2+(-5+22112)x+53

-34x3+22112x+53=-34x3+x2+(-5+22112)x+53

22112x=x2+(-5+22112)x

22112x=x2-5x+22112x

x2-5x=0

x1=0

x2=5

mfG

Atlantik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:26 Uhr, 06.09.2019

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Hallo Atlantik,
das ist natürlich ein interessanter Aspekt. Du hättest damit gezeigt,
dass wenn es überhaupt von k unabhängige Nullstellen gibt,
dann sind das 0 und/oder 5. Nun ist aber 0 gar keine Nullstelle,
also bleibt nur noch die 5. Aber warum sollte aus
f0(5)=f1(5) folgen, dass fk(5)=0 ist?
Du hast folgendes Problem gelöst:
welchen Wert muss eine Nullstelle xN haben, damit
fk(xN)=0 ist für alle k ?
Ist natürlich viel interessanter als das Originalproblem, ist aber
leider nicht das Originalproblem.
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