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Funktionsscharen fk(x) = x²-kx³

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion, Schar

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13:05 Uhr, 15.05.2011

Hallo !

Ich muss bis Dienstag eine Hausaufgabe abgeben, aber diese eine Aufgabe verstehe ich nicht.

Es geht um Funktionsscharen. Die Aufgabe ist fk(x)

= x^{2} - k x^{3} .

Die Ableitungsfunktionen sind:

f´k(x)

= 2 x - 3 k x^{2}

f´´k(x)

= 2 - 6 k x

f´´´k(x)

= - 6 k

Sind meine Ableitungsfunktionen richtig?

Ich soll die Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte berechnen.

Wie mache ich das? Bin schon am verzweifeln

Gibt es im Internet einen Online Rechner, wo ich solche Aufgaben lösen kann (mit Rechenweg)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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13:13 Uhr, 15.05.2011

Ableitungen stimmen und für die Nullstellen kannst du mal

x^{2}

ausklammern.

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13:21 Uhr, 15.05.2011

Für die Nullstellen habe ich jetzt gerechnet:

fk(x)

= x^{2} - k x^{3} = 0

x^{2} \cdot (1 -

kx)

= 0

x 1 = 0

oder

1 -

= 0 | - 1

-kx

= - 1 | : (- k)

x = \frac{1}{k}

Ist das richtig ?

Und für die Extremstellen:

2 x -

3kx^2

= 0

x \cdot (2 - 3

kx)

= 0

x 1 = 0

oder

2 - 3

= 0 | - 2

- 3

= - 2 | : (- 3 k)

x = \frac{2}{3} k = \frac{2}{3} k

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13:31 Uhr, 15.05.2011

Ja aber bei der Nullstelle der ersten Ableitung musst du Klammern setzen:

x = \frac{2}{3 k}

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13:33 Uhr, 15.05.2011

Für die Nullstellen muss ich doch die

f k (x)

nullsetzen und nicht die erste Ableitung, oder?

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13:34 Uhr, 15.05.2011

Das ist richtig.

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13:35 Uhr, 15.05.2011

Bei den Extrempunkten habe ich bis jetzt nur die Notwendige Bedingung.

Wie mache ich die Hinreichende Bedingung?

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13:39 Uhr, 15.05.2011

In zweite Ableitung einsetzen.

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13:43 Uhr, 15.05.2011

Wenn ich die Ergebnisse in die 2. Ableitung einsetze, sieht das bei mir so aus:

f´´(

\frac{2}{3} k) = 2 - 6

= 2 - 6 k \cdot \frac{2}{3} k

= 2 - 4 \cdot k^{2} | k^{2}

= 2 - 4 = - 2

Ist das richtig?

f´´(

0) = 2 - 6

kx

Wie gehts da weiter?

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13:45 Uhr, 15.05.2011

Achtung

x = \frac{2}{3 k}

ist die zweite Nullstelle der ersten Ableitung und

f'' (0) = 2 - 6 k \cdot 0 = 2 > 0 \Rightarrow T P

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13:48 Uhr, 15.05.2011

Aber ich muss doch bei den Extremstellen

x = \frac{2}{3} k

und

x = 0

in die zweite Ableitung einsetzen, oder?

Sind meine Rechenwege richtig?

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13:50 Uhr, 15.05.2011

f_{k}^{''} (x) = 2 - 6 k x

f_{k}^{''} (0) = 2 - 6 k \cdot 0 = 2 > 0 \Rightarrow T (0 | 0)

f_{k}^{''} (\frac{2}{3 k}) = 2 - 6 k \cdot \frac{2}{3 k} = - 2 < 0 \Rightarrow H (\frac{2}{3 k} | f_{k} (\frac{2}{3 k})) \Rightarrow H (\frac{2}{3 k} | \frac{4}{27 k^{2}})

für

k \neq 0

Gruß Shipwater

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13:58 Uhr, 15.05.2011

Danke für die Rechnungen!

Für die Extremstellen brauche ich noch die y-Koordinaten, oder?

Kannst du mir dafür auch die Rechenwege schreiben? Habs nicht hinbekommen

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14:00 Uhr, 15.05.2011

Also für

x = 0

ist die Berechnung des Extremwerts ja trivial. Und für

x = \frac{2}{3 k}

erhältst du

f_{k} (\frac{2}{3 k}) = {(\frac{2}{3 k})}^{2} - k \cdot {(\frac{2}{3 k})}^{3} = \frac{4}{9 k^{2}} - \frac{8}{27 k^{2}}

Versuche den Rest jetzt mal alleine.

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14:10 Uhr, 15.05.2011

Wie rechne ich denn fk(0)? Oder wie schreibe ich das in meine Hausaufgabe?

Was schreibe ich dann nach dem

= \frac{4}{9} k^{2} - \frac{8}{27} k^{2}

?? Muss ich das noch ausrechnen? Ist danach diese Aufgabe fertig?
Ok, also da kommt

\frac{4}{27} k

raus, ist das das Ergebnis?

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14:21 Uhr, 15.05.2011

Benutze mal Klammern, sonst werden die Brüche immer falsch angezeigt. Und

f_{k} (0)

ist doch trivial versuch es mal.

T (0 | 0)

und

H (\frac{2}{3 k} | \frac{4}{27 k^{2}})

ist das Ergebnis.

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14:24 Uhr, 15.05.2011

Danke für deine Antwort !

Also, ist es richtig, wenn ich schreibe:

f k (0) = 0^{2} - k \cdot 0^{3}

= 0

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14:31 Uhr, 15.05.2011

Ja, das ist richtig.

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14:47 Uhr, 15.05.2011

Ich habe zu dieser Aufgabe noch eine Aufgabe

Für welchen Wert

k

hat die Funktion fk an der Stelle

x = 100

eine Nullstelle?

Ich habe es so probiert:

fk

(100) = 100^{2} - k \cdot {(100)}^{3}

= 10000 - (k \cdot 1000000) | : 1000000

= \frac{10000}{1000000} - k

= \frac{1}{100} - k

= 0,01 - k | + k

k = 0,01

Ist das so richtig?

Mir fällt gerade auf, dass ich die Wendepunkte von derr Aufgabe von eben noch nicht habe.
Kannst du mir da vielleicht noch helfen? Ich weiß garnicht, wie das geht außer das man die 2. Ableitung nullsetzen muss

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14:50 Uhr, 15.05.2011

Geht auch einfacher, weil du