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Funktionsterm als Produkt aus Linearfaktoren..

Schüler Abendgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Linearfunktion

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16:53 Uhr, 24.08.2011

Erster Tag Matheunterricht, und ich steh gleich aufm Schlauch.

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die ganzrationale Funktion

f

durch die Gleichung

f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 32

Geben Sie den Funktionsterm als Produkt aus Linearfaktoren an.

Ich hab mit verschiedenen Büchern und dem Internet versucht irgendwie voran zu kommen, aber ich finde einfach nicht den richtigen Lösungsweg. Ehrlich gesagt konnte ich das Thema der Analysis zuordnen. Außerdem habe ich auf verschiedenen Webseiten verschiedene Lösungsansätze gefunden (zb Ausklammern - was aber wiederum nicht zum Endergebnis führen soll und Polynomdivision (womit ich jetzt gar nichts anfangen kann. Davon hab ich noch nie gehört..)
Hinzu kommt das ich zwei unterschiedliche Lösungen vom Lehrer habe (eine von der Tafel, eine von der Rückseite des Arbeitsblattes) und damit auch nicht weiß welches Ergebnis nun eigentlich richtig ist..

Ergebnis

1 : f (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 4)

Ergebnis

2 : f (x) = 4 (x - 4) (x - 1) (x + 2)

Welches ist denn nun richtig?
Der Lehrer meinte man kommt zu dem Ergebnis irgendwie durch raten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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16:57 Uhr, 24.08.2011

genau.
zuerst solltest Du mal die 4 ausklammern, da alle Zahlen in deiner Funktion durch vier geteilt werden können.
Mach das doch mal und poste bitte das Ergebnis

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17:02 Uhr, 24.08.2011

Okay, wenn ich 4 ausklammer erhalte ich:

f (x) = 4 (x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8)

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17:07 Uhr, 24.08.2011

ok, das ist richtig :-)
Dein Lehrer hat recht:
Man "errät" nun die erste Nullstelle, indem man für

x

Ganze Zahlen einsetzt, und schaut, ob Null rauskommt. Dabei beginnt man möglichst mit 1 und mit

- 1 :

Setz mal ein:

x = 1

und dann

x = - 1

Was kommt dabei raus für

f (x = 1) =

und

f (x = - 1) =

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17:20 Uhr, 24.08.2011

Soll das ausgerechnet werden? Sag mir einfach wenn ich irgendwo einen Schritt zu weit geh. Hab jetzt folgendes gemacht:

f (x = 1) = 4 (1^{3} - (3 \cdot 1^{2}) - 24 \cdot 1 + 32) | ()

Klammern auflösen; Zusammenfassen

f (x = 1) = 4 (1 - 3 - 24 + 32) | Z

f (x = 1) = 6

f (x = - 1) = 4 (- 1^{3} - (3 \cdot - 1^{2}) - 24 \cdot - 1 + 32)

f (x = - 1) = 4 (- 1 - 3 + 24 + 32)

f (x = - 1) = 208

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17:27 Uhr, 24.08.2011

leider verrechnet (bzw. schon ganz falsch eingestzt)

f (x = 1) = 4 (1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 8) = 0

f (x = - 1) = 4 ({(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 6 (- 1) + 8) = 10

Du siehst:

f (x = 1) = 0

Dies ist die erste Nullstelle die Du erraten solltest.

Schau jetzt mal die beiden ganz oben gegebenen Ergebnisse an.
Was fällt Dir dabei auf?

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17:38 Uhr, 24.08.2011

also, um

18 : 00

Uhr bin ich nicht mehr da

. .

.
dann übernimmt vielleicht jemand anders

. .

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17:38 Uhr, 24.08.2011

Ah, da bin ich irgendwie verrutscht. Was nehm ich nur als Ausrede? Es war ein langer Tag? :-D)

Mir fällt auf das die beiden Ergebnisse keine Potenzen enthalten. Ansonsten kann ich keine klare Übereinstimmung erkennen. Im zweiten wird auch eine Klammer mit 4 multipliziert. Aber das kann auch nur Zufall sein.

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17:41 Uhr, 24.08.2011

na, dann ordne ich die beiden Ergebnisse mal um:

f (x) = 4 (x - 1) (x + 2) (x - 4)

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 4)

erkennst Du jetzt was ich meine?

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17:43 Uhr, 24.08.2011

Im ersten kommt ne 4 als Faktor vor und im zweiten nicht? Sonst sind sie identisch.

Ah. Wie sagen meine Lehrer: "Methode des scharfen Hinsehens.." oder "System Adlerauge"..

\land

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17:46 Uhr, 24.08.2011

gut.
"Wenn ein Produkt Null werden soll, dann muss einer der Faktoren Null werden."
Die Ergebnisse bestehen aus mehreren Faktoren.
Schreib mal die einzelnen Faktoren an

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17:50 Uhr, 24.08.2011

Was meinst du denn mit "die einzelnen Faktoren anschreiben"?

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17:51 Uhr, 24.08.2011

die einzelnen Faktoren sind:
4

(x - 1)

(x + 2)

(x - 4)

für welche

x

werden diese Faktoren zu Null?

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17:57 Uhr, 24.08.2011

also anders gefragt:
welche Zahl musst Du in

(x - 1)

einsetzten, damit diese Klammer Null ergibt?

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18:02 Uhr, 24.08.2011

Da ich jetzt weg muss, übernimmt vielleicht ein(e) andere(r)

. .

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12:41 Uhr, 25.08.2011

www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Polynomdivision

Die Polynomdivision wird in diesem Link übrigens ganz gut beschrieben.
Eine Polynomdivision brauchst Du, um zur von Dir angegebenen Lösung zu kommen,
es sei denn, Du "erätst" alle drei Nullstellen, was aber oft einen relativ grossen Aufwand bedeutet, denn oft sind die anderen Nullstellen keine ganzen Zahlen (um die Null herum).

Die Polynomdivision liefert Dir als Ergebnis eine Quadratische Gleichung, deren Nullstellen Du anschließend ermitteln musst (findest Du auch über den oben angegebenen Link)

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