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Funktionsterm bestimmen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: bestimmen, Funktion, Funktionsterm, ganzrational

Infinity89 aktiv_icon

11:50 Uhr, 14.04.2009

Hallo, hier meine Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat im Ursprung des Koordinatensystems
die Steigung 144. P(8 |128) ist der Wendepunkt des Graphen.

a) Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm mit Hilfe eines geeigneten Gleichungssystems.

Also aus den Angaben kann man ja sehen, dass: f(o)=0, f'(0)=144, f(8)=128 und f''(8)= 0 ist.

Aber wie mache ich da nun weiter, sodass ich den Funktionsterm aufstellen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

12:14 Uhr, 14.04.2009

hi infi
der lösungsweg geht von dem polynom 3. grades aus
y=ax^3+bx^2+cx+d
dein ziel ist,

a, b, c, d

zu bestimmen
aus

x = 0; y = 0

kannst du sofort

d

bestimmen
schreibs hin

⊙ k

Infinity89 aktiv_icon

14:26 Uhr, 14.04.2009

x= 0, y=0 was?? xD

das is alles schon wieder so lange her .___.

Also ich muss ein Gleichungssystem aufstellen, ja?

Und wie sieht das aus?

Edddi aktiv_icon

14:38 Uhr, 14.04.2009

Dies ist deine Funktion...allerdings kennst du weder

a, b, c, d

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

aus

y (0) = 0

folgt, das

d = 0

ist, da

a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x

ja für

x = 0

auch 0 ist.

Also sieht deine Funktion so jetzt so aus:

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x

y' = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

y'' = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b

jetzt setzt du noch ein, was du hast:

y' (0) = 144, y (8) = 128

und

y'' (8) = 0

y' = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

144 = c

(hab' einfach

y' (0) = 144

eingesetzt)

y'' = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b

0 = 48 \cdot a + 2 \cdot b

(hab' einfach

y'' (8) = 0

eingesetzt)

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x

128 = 512 \cdot a + 64 \cdot b + 1152

(hab' einfach

y (8) = 128

eingesetzt)

...so, jetzt hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten...die lassen sich ganz einfach über das Additionsverfahren ausrechnen.

Dann hast du auch noch a und

b ... .

:-)

Infinity89 aktiv_icon

15:08 Uhr, 14.04.2009

also hätte ich dann die Gleichungen :

I. 512a+64b+8c = 128

II. 48a+2b=0

und c= 144 also I. 512a+64b+1152=128... das kann ich dann noch vereinfachen indem ich durch 64 teile...

also I. 8a+b=-16 und bei II. kann ich durch 2 teilen, bleiben 2a+b=0

also rechne ich mit den Gleichungen:

I. 8a+b=-16

II. 2a+b=0

dann I. - II.

a= - 2 2/3 o.O .. ( da is bestimmt wieder nen Fehler^^)

b = -37 1/3 .... ok es stimmt wirklich nicht ...ich hasse Gleichungssysteme ... x)

naja und dann müsste ich zumindest a, b und c nur noch in die ax^3+bx^2+cx einsetzen, oder?

Edddi aktiv_icon

15:24 Uhr, 14.04.2009

...ja genau...

Lösung des GL-Systems mit Additionsverfahren:

GL1:

8 a + b = - 16

GL2:

2 a + b = 0

jetzt GL1-GL2:

(8 a + b) - (2 a + b) = - 16 - 0

6 a = - 16

a = - \frac{16}{6} = - \frac{8}{3}

...dies entweder einsetzen oder wieder Additionsverfahren:

GL1-4*GL2:

(8 a + b) - 4 \cdot (2 a + b) = - 16 - (4 \cdot 0)

8 a + b - 8 a - 4 b = - 16

- 3 b = - 16

b = \frac{16}{3}

Probe mit GL1:

8 a + b = - 16

8 \cdot - \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = - 16

- \frac{64}{3} + \frac{16}{3} = - \frac{48}{3} = - 16 ...

. OK!

...für dich noch mal im Substitutionsverfahren:

GL1:

8 a + b = - 16

GL2:

2 a + b = 0

GL1:

b = - 16 - 8 a

GL1 in GL2:

2 a + b = 0

2 a + (- 16 - 8 a) = 0

2 a - 16 - 8 a = 0

- 6 a - 16 = 0

- 6 a = 16

a = - \frac{8}{3}

...jau...funzt...

:-)

Infinity89 aktiv_icon

15:32 Uhr, 14.04.2009

wahrscheinlich steh ich wieder aufm Schlauch aber den Schritt mit GL1-4*GL2 versteh ich nicht ... -.- *verzweifel*

kann ich nicht einfach a in eine der beiden Gleichungen einstzen und dann hab ich b?

und wo kommt da die -4 her??? ahhh xD

Edddi aktiv_icon

15:47 Uhr, 14.04.2009

...ja natürlich kannst du das....

ich wollt dir halt nur mal das Additionsverfahren vorführen...wenn man's eimal geschnallt hat geht's Ruck-Zuck....

Ich habe Gl1-4*GL2 gewählt, damit das die Variable a rausfällt (die löst sich ja zu 0 auf)

...

. und als Ergebniss bleibt nur noch eine End-Gleichung mit einer Variablen...in diesem Falle mit

b .

Schreibt man die 2 Gleichungen sozusagen untereinander...kann man praktisch ganz einfach addieren / subtrahieren... ich hab's nur nebeneinander dargestellt, weil's hier im Textmodus nicht so gut geht.

...ich versuch's dennoch mal, Beispiel:

3 x + 4 y = 10

3 x - 4 y = 6

- - - - - - -

6 x + 0 y = 16

...hast du gesehen...einfach nach unten addiert...und schon kommt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

...sollte es mal nicht aufgehen...multipliziert man einfach eine Gleichung mit einem Faktor so, das es passt:

3 x + 4 y = 10

2 x - 8 y = 6

- - - - - - -

...jetzt multipliziere ich die 1. Gleichung mit

2 :

6 x + 8 y = 20

2 x - 8 y = 6

- - - - - - -

8 x + 0 y = 26

...fertig...

...ich find', das geht superschnell...

:-)

Infinity89 aktiv_icon

16:21 Uhr, 14.04.2009

ahh ich hatte mich beim ausrechnen von b verrechnet, deswegen passte das Ergebnis nicht (=

okay jetzt is alles klar (= Vielen Dank!

Aber wenn ich schonmal grade hier bin, könnte ich ja noch eine Frage los werden:

Es gibt doch den Fall, dass man für eine Unbekannte eine beliebige Zahl einsetzen kann, oder? Wann darf man das? Bei 2 Gleichungen mit 3 unbekannten?

Edddi aktiv_icon

07:21 Uhr, 15.04.2009

...jau...so ist es...

Hast du eine Gleichung mit 2 Unbekannten, so ist eine Variable jeweils von der anderen abhängig.

Bsp.:

2 x + 2 y = 4 \to x = 2 - y

oder

y = 2 - x

(grafisch ist die Lösung ja eine Gerade in der X-Y-Ebene, welche dir alle Lösungspaare bietet)

Hast du eine Gleichung mit 3 Unbekannten, so ist eine Variable jeweils von den anderen abhängig.

Bsp.:

2 x + 2 y + 2 z = 4 \to x = 2 - z - y

oder

y = 2 - z - x

oder

z = 2 - x - y

(grafisch ist die Lösung ja eine Fläche im X-Y-Z-Raum, welche dir alle Lösungstriplex bietet - setzt du eine Variable konstant...beeispielsweise

x = 4,

so hast du ja nur noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten, also die Lösungsmenge einer Geraden. Und tatsächlich entpricht das der resultierenden Geraden aus der ursprüngliche Fläche und der orthogonalen Schnittfläche (Fläche parallel zu Y-Z-Fläche) bei

x = 4)

Hast du zwei Gleichung mit 3 Unbekannten, so ist eine Variable jeweils von der anderen abhängig.

Bsp.:

2 x + 3 y + z = 8

und

2 x + 6 y = 4

\to z = 8 + 3 y, z = 8 - x, y = - \frac{x}{3}

Hast du zwei Gleichung mit 4 Unbekannten, so ist eine Variable jeweils von den anderen abhängig.

...dieses Beispiel, sowie auch dir grafische Deutung erspar' ich mir und dir....

:-)

Infinity89 aktiv_icon

11:43 Uhr, 15.04.2009

mh also ich hab grade mal das Beispiel mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten versucht ...aber iwie klappt das bei mir nicht ...

du magst mir nicht zufällig den ganzen Rechenweg aufschreiben, oder?^^

Edddi aktiv_icon

12:01 Uhr, 15.04.2009

...doch...moag

i' ... .

2 x + 3 y + 1 z = 8

2 x + 6 y + 0 z = 4

- - - - - - - - - - - - -

0 x - 3 y + 1 z = 4

also

- 3 y + z = 4 \to z = 4 + 3 y

(...huch... da hab' ich mich vorhin wohl verrechnet...kein Wunder das du was anderes raushast...)

4 x + 6 y + 2 z = 16

(habe hier alles mal 2 genommen)

2 x + 6 y + 0 z = 4

- - - - - - - - - - - - -

2 x + 0 y + 2 z = 12

also

2 x + 2 z = 12 \to x + z = 6 \to z = 6 - x

(...hubb's...schon wieder hatte ich es vorhin falsch....buddel, buddel, kram, kram...aaah', hier hab' ich's, meinen Kritzel-Zettel von vorhin...o..mei...da hab ich das GL-System falsch hingeschrieben...ergo kam auch immer was anderes raus...)

aus

z = 4 + 3 y

und

z = 6 - x

mach ich:

4 + 3 y = 6 - x \to x = 6 - 4 - 3 y = 2 - 3 y

...sorry, das ich dich verwirrt hatte...

:-)

Infinity89 aktiv_icon

12:41 Uhr, 15.04.2009

Oh man ich bin echt zu schwer von Begriff -.-

also Z=6-x und x= 2-3Y kann ich nachvollziehen, aber ich hab echt absolut keine Ahnung wie es weiter geht...

muss ich x und z in die Gleichungen einsetzen? Sorry... ich bin echt ein hoffnungsloser Fall in Mathe...^^

Edddi aktiv_icon

12:55 Uhr, 15.04.2009

...du erhälst bei sowas immer Abhängigkeiten wie:

z (x), z (y)

und

y (x)

oder halt

x (z), y (z)

und

x (y)

ist aber dasselbe.

...also ein Variable ist immer von einer anderen abhängig. Konkrete Zahlenwerte kommen da nicht raus.

Wenn du aber eine Variable als Konstante betrachtest, oder ihr eine Wert zuweist, wird das Gleichungssystem lösbar.

Bsp. ich setzte

y = 5

dann kannst du entweder das Gleichungssystem lösen, oder

y = 5

in deine Lösungsfunktionen einsetzen.

mit

y = 5

erhalte ich aus

z = 4 + 3 y, z = 19

mit

z = 19

erhalte ich aus

z = 6 - x, x = - 13

so hab ich alles....

:-)

Infinity89 aktiv_icon

13:15 Uhr, 15.04.2009

ahhh okay nu ist es klar ... sorry für mein nicht vorhandenes Mathetalent ;)

Aber vielen Dank für deine Hilfe (=

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