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Funktionsterm einer Funktion 3. Grades aufstellen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Aufgabe, aufstellen ?, Funktion, Funktionsterm, Grad

Malina16 aktiv_icon

18:26 Uhr, 22.02.2015

Die Aufgabe lautet:

Das Schaubild einer Polynomfunktion 3. Grades verläuft durch die Punkte

A (0,1)

B (1,0) C (- 1,0) D (- 2,3)

.
Bestimmen sie den Funktionsterm.

Die Hauptform einer Funktion 3. Grades lautet ja ax³+bx²+cx+d, daraufhin habe ich zuerst den Punkt

A

in die Hauptform eingesetzt und dadurch konnte ich die Konstante

d

herausfinden.

d = 1

Ich weiß auch das ich nun ein Lineares Gleichungssystem aufstellen muss, aber ich weiß nicht wie man das bei einer Funktion 3. Grades macht

Es wäre echt toll wenn mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen könnte:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

18:46 Uhr, 22.02.2015

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

A (0 | 1)

f (0) = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d

a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = 1

d = 1

hast du schon richtig gefunden.

Nun weiter mit

B (1 | 0) :

f (1) = a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + 1

a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} + c \cdot 1 + 1 = 0

schöner aufgeschrieben:

a + b + c = - 1

Ebenso mit Punkt

C

und

D

Dann hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

mfG

Atlantik

Malina16 aktiv_icon

18:52 Uhr, 22.02.2015

Dankeschön:-)

Also ich habe jetzt die 3 Gleichungen

1.

a + b + c = - 1

- a + b - c = - 1

- 8 a + 4 b - 2 c = 2

aber wie genau löse ich das nun?

Atlantik aktiv_icon

19:15 Uhr, 22.02.2015

1 .) a + b + c = - 1

2 .) - a + b - c = - 1

3 .) - 8 a + 4 b - 2 c = 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 .) a + b + c = - 1

2 .) - a + b - c = - 1

3 .) - 4 a + 2 b - c = 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 .) - 2 .) :

2 a + 2 c = 0 \to

a + c = 0 \to

a = - c

Nun weiter einsetzen.

mfG

Atlantik

Bummerang

12:46 Uhr, 23.02.2015

Hallo,

diese Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, wie man durch maximale Auswertung der Angaben zu einem Ansatz kommt, der wesentlich weniger Rechenaufwand bedeutet und damit Zeit spart, die man in Prüfungen an anderer Stelle sinnvoller verwenden kann:

f (x) = (x - (- 1)) \cdot (x - 1) \cdot (a \cdot x + b) = (x^{2} - 1) \cdot (a \cdot x + b)

In diesem Ansatz stecken die beiden gegebenen Nullstellen und das Wissen, dass der letzte Faktor einfach eine lineare Funktion sein muss, damit man auf ein Polynom dritten Grades kommt. Man sieht sofort, dass das lineare Glied dieser Funktion nach dem Ausmultiplizieren

- b

ergibt und weil

f (0) = 1

das lineare Glied ist, ergibt sich:

- b = 1 \Leftrightarrow b = - 1

Das führt zu dem weiter vereinfachten Ansatz:

f (x) = (x^{2} - 1) \cdot (a \cdot x - 1)

in dem man nur noch den Punkt

D

einsetzen muss, um a zu errechnen:

f (- 2) = 3 = ({(- 2)}^{2} - 1) \cdot (a \cdot (- 2) - 1) = (4 - 1) \cdot (- 2 \cdot a - 1) = 3 \cdot (- 2 \cdot a - 1) \Leftrightarrow 1 = - 2 \cdot a - 1 \Leftrightarrow a = - 1

Der Rest ist einfaches ausmultiplizieren bzw. einsetzen in:

f (x) = (x^{2} - 1) \cdot (a \cdot x - 1) = a \cdot x^{3} - x^{2} - a \cdot x + 1 = (- 1) \cdot x^{3} - x^{2} - (- 1) \cdot x + 1 = - x^{3} - x^{2} + x + 1

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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