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Funktionsuntersuchung

Schüler

Tags: Funktion, Funktionsuntersuchung

Mathebloeder aktiv_icon

21:31 Uhr, 29.11.2012

Hallo zusammen!

Ich soll zu folgender Funktion eine Funtkionsuntersuchung unter dieser Aufgabenstellung machen:

f : x \to \frac{1}{6} (x + 1) ² (x - 2)

mit

x \in ℝ

a) Beschreiben Sie den globalen Verlauf der Funktion f für

x \to \infty

und für

x \to - \infty

b) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Nullstellen (Vorzeichewechsel)
c) Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung von f.
d) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die Funktion f waagerechte Tangenten hat.
e) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Geraden g mit der Funktionsgleichung g(x) = -0,5x ist?
Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt B dieser Tangente als auch die Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.
f) Erstellen Sie eine Wertetablle und zeichen Sie den Graph im Intervall [-2 ; 3]

Meine Lösung:

a) Für

x \to \infty

geht

f (x) \to + \infty

Für

x \to - \infty

geht

f (x) \to - \infty

b) Habe die Nullstellen x = -1 und x = 2 errechnet.

Stimmt das soweit?
Denn jetzt hab ich mein eigentliches Problem mit den restlichen Aufgaben.
c) "Normale" Funktionen ableiten kann ich eigentlich, doch bereitet mir das bei dieser Aufgabe große Schwierigkeiten.
Und ohne die Ableitungen kann ich die restlichen Aufgaben ja nicht angehen.

Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Hansalotte aktiv_icon

21:43 Uhr, 29.11.2012

zur Ableitung: Hattet ihr schon die Produktregel?

Mathebloeder aktiv_icon

21:57 Uhr, 29.11.2012

War das das mit dem limes?

Ma-Ma aktiv_icon

22:39 Uhr, 29.11.2012

Wenn Dir die Ableitung dieser Formel zu schwer ist, so rechne einfach die Klammern aus und leite dann ab. Ist wesentlich einfacher.

(Ich nehme an, Ihr hattet schon Ableitungen, soetwas wie

f' (x)

unf

f'' (x)

.

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

23:11 Uhr, 29.11.2012

Danke für deine Antwort!

Ja, "normale" Ableitungen (wenn ich das mal so nennen darf) hatten wir schon.
Dann will ich das mal versuchen :

f : x \to \frac{1}{6} (x + 1) ² (x - 2)

\frac{(x - 2) * (x + 1) ²}{6}

Meinst du so? Komme nun aber nicht mehr weiter. Ich hasse Brüche.:-P) Die verwirren mich ...

Femat aktiv_icon

08:51 Uhr, 30.11.2012

Befolge die Ratschläge von Ma-Ma, das hat schon viele glücklich gemacht.
Klammern ausrechnen.
führt zu

\frac{1}{6} \cdot (x^{3} - 3 x - 2)

und das kannst du ableiten oder? Yes we can (Barack Obama)

gibt dann

\frac{x^{2} - 1}{2}

oder halt

0.5 x^{2} - 0.5

Mathebloeder aktiv_icon

21:54 Uhr, 01.12.2012

Bitte entschuldige die späte Antwort!

\frac{1}{6} * (x ³ - 3 x - 2)

genau da lag der Knackpunkt bei mir im Kopf. :-P)
Vielen Dank.

Nun habe ich die Ableitungen berrechnet:
f'(x) = 0,5x² - 0,5
f''(x) = 2x
f'''(x) = 2

Jetzt kann ich also weitermachen:

d)
f'(x): 0,5x² - 0,5 = 0
Nullstellen:
x = 1
x = -1

\frac{1}{6} * (x ³ - 3 x - 2)

\frac{1}{6} * (1 ³ - (3 * 1) - 2)

= -0,667

\frac{1}{6} * (- 1 ³ - (3 * - 1) - 2)

= 0

Waagerechte Tangenten bei: {1 | -0,667} und {-1 | 0}

Nun habe ich leider wieder ein Problem mit e)
Wie gehe ich hier vor?

Wäre super wenn Ihr mir nochmal helfen könntest! Und nochmal vielen Dank für das bereits "geholfene" :-P)

Ma-Ma aktiv_icon

22:25 Uhr, 01.12.2012

Schön, dass Du weitergekommen bist.
Hab nicht alles nachgerechnet, also kein Kommenta dazu

. .

.

zu

e)

Du hast eine Gerade

g (x)

mit der Steigung

- 0,5

.
Ermittle bei welchem Punkt (zuerst bei welchen

x

Deine Funktion den gleichen Anstieg hat.

f' (x) = - 0,5

Wenn Du

x

hast, kannst Du auch

y

ausrechnen (Berührpunkt).
Die Geradengleichung (Tangentengleichung)

t (x) =

+ n

ist dann easy.

Hinweis zur Normalengleichung:

\to

Anstieg !

m_{t} \cdot m_{n} = - 1

LG Ma-Ma

Femat aktiv_icon

06:55 Uhr, 02.12.2012

c)

Deine 2. und dritte Ableitung stimmt nicht.

f'' (x) = x

f''' (x) = 1

Mathebloeder aktiv_icon

17:00 Uhr, 02.12.2012

Vielen Dank für Eure Antworten!
Oh mist, da habe ich wohl geschludert. :-)

Habe jetzt mal weitergemacht:

e) Habe die erste Ableitung = -0,5 gesetzt und den Punkt x = -0,375 errechnet.
Danach den x Wert in die ursprüngliche Funktion eingesetzt und so y = 0,458 bestimmt.

Der Berührpunkt sollte dann also bei {-0,375 | 0,458} sein oder?

Für die Tangentengleichung hab ich die beiden Punkte in y = mx + b eingesetzt und nach b aufgelöst.

Also:
0,458 = -0,5 * -0,375 + b
b = 0,2705
Tangentengleichung: g(x) = -0,5x + 0,27

Zur Normalengleichung:
weil m1 * m2 = -1 ist
m = -1 / -0,5
m = 2
Normalengleichung: 2x + 0,27

Ist das so richtig? Würde mich freuen, wenn nochmal jemand drübergucken könnte. :-))

Ma-Ma aktiv_icon

01:17 Uhr, 04.12.2012

e)

Komme hier auf andere Werte !

f' (x) = 0,5 x^{2} - 0,5

Der Anstieg soll

- 0,5

sein.

- 0,5 = 0,5 x^{2} - 0,5

x = 0

y = - \frac{1}{3}

Berührpunkt

P (0 | - \frac{1}{3})

Einsetzen und Tangentengleichung ausrechnen:

g (x) = - 0,5 x - \frac{1}{3}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Normalengleichung:

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

Richtig ausgerechnet;:

m_{N} = 2

Berührpunkt

P

nutzen.

h_{N} (x) = 2 x + \frac{1}{3}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

23:18 Uhr, 04.12.2012

Danke für deine Antwort!
Hmmm.. So ganz verstehe ich noch nicht..
Sollte man nicht die -0,5 in die erste Ableitung einsetzen und ausrechnen? Und wie kommst Du auf y = -1/3 ?

Wäre super wenn du mir das nochmal erklären könntest. :-)

Ma-Ma aktiv_icon

23:25 Uhr, 04.12.2012

f' (x) = m =

Steigung

= - 0,5

f' (x) = - 0,5

- 0,5 = 0,5 x^{2} - 0,5

Berechne jetzt

x . .

x =

?

Nachtrag:
Berechne den x-Wert, wo die Steigung

= - 0,5

am Graphen

f (x)

ist.

Mathebloeder aktiv_icon

23:45 Uhr, 04.12.2012

Ahh nicht ausrechnen sondern nach x auflösen!

-0,5 = 0,5x² - 0,5
0,5x² = 0,5 - 0,5 | + 0,5, -0,5
x² = 0
Wurzel...
x = 0

Okay.Doch nun weiß ich nicht wie du auf y = -1/3 kommst. :-P) Habe da wohl irgendwas falsch verstanden. :( Ist mein Rechenweg falsch?

Ma-Ma aktiv_icon

23:54 Uhr, 04.12.2012

Wenn Du andere Ergebnisse als ich erhälst, ist an Deinem Rechenweg wohl etwas falsch .. will das jetzt nicht alles aufdröseln

. .

.

Um den Berührpunkt (y-Wert) auszurechnen, setze

x

in die Ursprungsgleichung

f (x)

ein.

Versuche bitte, meinen Rechenweg nachzuvollziehen.
Benenne konkret, was Du nicht nachvollziehen kannst

. .

.

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

00:05 Uhr, 05.12.2012

Tut mir leid um die Uhrzeit ist bei die Luft raus..:-P)
Da übersehe ich sogar, dass ich natürlich die Gleichung ändern muss, weil ich jetzt ja einen anderen x wert habe. -.-

Also:
y =

\frac{1}{6}

(0 + 1)² (0-2)
y = -0,333...
bzw. y =

- \frac{1}{3}

Jetzt hab ichs. :-) Nun noch die Tangenten- und Normalengleichung ändern und das wärs dann. f) Schaff ich wohl alleine.
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

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