Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fußpunkt der Pyramide berechnen

Fußpunkt der Pyramide berechnen

Schüler Sonstige,

Tags: fehlende koordinate, Fußpunkt, Pyramide

hkathi aktiv_icon

20:24 Uhr, 27.04.2011

Hallo!
Hab da ein Problem:

Die Punkte

A (5, 1, 1), B (- 1, 3, 9), C (- 3, - 1, 5)

sind die Basiseckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit dem Höhenfußpunkt

H (1, 0, z)

.
die Spitze der Pyramide liegt in der Ebene

e : 3 x + 2 y - z = - 18 .

Berechnen Sie die Gleichung der Basisebene, die fehlende z-Koordinate von

H

und die Koordinaten von

S .

Hab nun die Ebenengleichung

7 x - 10 y + 7 z = 27

aufgestellt. Weiter weiß ich leider nicht mehr. Ich komme nicht darauf wie ich die

z

Koordinate ausrechnen kann. Die Spitze ist ja auch nicht gegeben.
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!
Kathi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

MBler07 aktiv_icon

20:37 Uhr, 27.04.2011

Hi

TIpp: Der Höhenfußpunkt iegt in der Ebene der Grundfläche.
Kannst du mit damit was anfangen?

Da nach der Spitze gefragt ist, wäre es ziemlich doof, sie mitanzugeben, oder?
Hast du schon eine Idee zur Berechnung von ihr?

Grüße

hkathi aktiv_icon

21:14 Uhr, 27.04.2011

Vielen Dank, hab mich sehr bemüht, aber ich komme einfach nicht drauf.

Könnten sie mir bitte den Lösungsweg beschreiben?
LG!

MBler07 aktiv_icon

21:24 Uhr, 27.04.2011

Nö. Aber ich helfe dir gerne beim erarbeiten des Lösungswegs. Wo waren denn die Probleme?

Um den Tipp mal etwas auszuführen:

H

liegt in der von dir berechneten Ebene. Folglich kannst du ihn einfach einsetzen und dann

z

berechnen.
Klar?

hkathi aktiv_icon

21:45 Uhr, 27.04.2011

Es kommt bei mir aber keine "schöne" Zahl dabei raus. Mein Rechenweg war wie folgt:

H = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ z \end{matrix})

E : 7 x - 10 y + 7 z = 27

also setzte ich ein:

(7 \cdot 1) - (10 \cdot 0) + 7 \cdot z = 27

z = 2,857 ...

MBler07 aktiv_icon

21:50 Uhr, 27.04.2011

Könnte daran liegen, dass der Koeffizient vom

x

sechs und nicht sieben ist...
Hatte bisher nicht nachgerechnet.

Dann wird das ganze auch "schön".

hkathi aktiv_icon

21:56 Uhr, 27.04.2011

Mann oh Mann! Vielen Dank! Habs zuerst richtig ausgerechnet danach, aber falsch abgeschrieben! vielen Dank jedenfalls! :-)

MBler07 aktiv_icon

21:58 Uhr, 27.04.2011

Gerne doch.

Kriegst du dann den Rest alleine hin oder sind noch Fragen?

hkathi aktiv_icon

22:15 Uhr, 27.04.2011

Verwende ich für die Spitze die Formel:

d = \frac{\vec{n} \cdot P - C}{\vec{n}}

hkathi aktiv_icon

22:17 Uhr, 27.04.2011

Im Zähler und Nenner sollten sich auch noch Betragstriche befinden. Diese habe ich auf die Schnelle aber nicht zustande gebracht...

MBler07 aktiv_icon

22:18 Uhr, 27.04.2011

Das ist ein Teil einer Möglichkeit.
Alternativ kannst du auch den Schnittpunkt der Geraden senkrecht zur Grundfläche durch

H

und der gegebenen Ebene berechnen.

hkathi aktiv_icon

22:23 Uhr, 27.04.2011

wobei

P

den Höhenfußpunkt

H (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

darstellt, und

\vec{n}

das kreuzprodukt von

\vec{A, B}

und

\vec{A, C} = (\begin{matrix} 24 \\ - 40 \\ 28 \end{matrix})

hkathi aktiv_icon

22:27 Uhr, 27.04.2011

vielen Dank erstmals! Werde mich morgen weiter damit beschäftigen! Gn8

MBler07 aktiv_icon

22:28 Uhr, 27.04.2011

\vec{n}

kann natürlich auch

= (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ 7 \end{matrix})

sein (also der Normalenvektor der Ebene)

MBler07 aktiv_icon

22:34 Uhr, 27.04.2011

OK. Dann wünsche ich dir auch eine gute Nacht.

hkathi aktiv_icon

19:50 Uhr, 28.04.2011

Vielen Dank! So- jetzt gehts weiter! :-)
Die Spitze habe ich nun berechnet:

S = (\begin{matrix} 13 \\ - 20 \\ 17 \end{matrix})

Und zwar so:

S = A + t \cdot \vec{n}

S = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 12 \\ - 20 \\ 14 \end{matrix})

MBler07 aktiv_icon

20:26 Uhr, 28.04.2011

Die Koordniaten der Spitze sind richtig. Ich weiß zwar nicht genau wie du gerechnet hast, aber das Ergebnis stimmt.

hkathi aktiv_icon

20:35 Uhr, 28.04.2011

Freu mich!
Das Volumen habe ich auch berechnet:

V = \frac{G \cdot h}{3}

G = \vec{A B} X \vec{A C} = 54,4058

h = \frac{\vec{n} \cdot P - c}{\vec{n}} = 27,21

V = 493,45

E³

MBler07 aktiv_icon

21:03 Uhr, 28.04.2011

Ist wieder richtig.

hkathi aktiv_icon

21:07 Uhr, 28.04.2011

Danke, Danke, Danke!! Hast mir sehr geholfen!! Freue mich wie ein Schneekönig!!! :-)

MBler07 aktiv_icon

21:17 Uhr, 28.04.2011

Hast auch allen Grund dazu. Hast ja fast alles selbst geschaft.
Dann noch einen schönen Abend.

882237

881851

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?