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G wird durch G/U erzeugt
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Hallo, ich mache gerade meine Algebra Abgabe und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Zeige: Ist U ⫋ G, dann wird G durch G/U erzeugt. Ich verstehe diese Aufgabe leider gar nicht. U ist also eine echte Untergruppe von G (d.h nicht jedes Element von U ist in G) und G/U die Faktorgruppe und U dementsprechend ein Normalteiler, aber müssten dafür nicht Links- und Rechtsnebenkassen gleich sein, sprich G abelsch? Freue mich über Tipps und Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Heißt die Aufgabe im Original wirklich so? Wenn ja, ist sie Blödsinn. Die Erzeugenden einer Gruppe müssen per Definition in einer Teilmenge von liegen, aber ist keine Teilmenge von . Gruß ermanus |
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Oh tut mir Leid, ich habe mich vertan! Es heißt . Ich stand selbst auf dem Schlauch, es ist anscheinend ohne gemeint. Aber irgendwie hilft es mir auch nicht weiter, die Aussage zu zeigen... ist nicht ganz sondern nur eine Teilmenge (also eine echte Untergruppe), aber , dh die ganze Gruppe erzeugt sich selbst, wofür dann ? |
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Hallo, nimm als Beispiel und . Dann ist die Menge aller nicht durch 3 teilbaren Zahlen. Nun wird behauptet , dass man also alle ganzen Zahl dadurch erhalten kann, dass man Summen und Differenzen von nicht durch 3 teilbaren Zahlen bildet. Vielleicht verfstehst du nun die zu beweisende Aussage besser. Frage: ist eine endliche Gruppe oder zumindest der Index von in endlich ? Gruß ermanus |
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Okay danke erstmal, dein Beispiel habe ich verstanden. Eine weitere Aufgabe lautet: finde ein Beispiel für G,U,V (U,V Untergruppen von G), derart, dass die Menge keine Untergruppe von G ist. Ich habe jetzt gewählt sodass z.B. ist. Ich möchte jetzt zeigen, dass Aber wenn ich zu meinem Beispiel zurückkomme: nehme ich u=3 und g=2, wäre u*g=6, was nicht in G ist. Und wie zeige ich, dass es ein Erzeugendensystem der Gruppe ist? |
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Der Index von und ist nicht endlich, da und unendlich viele Elemente haben |
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Ich meinte, ob in der Aufgabenstellung oder als endlich vorausgesetzt wird. |
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Nein, es steht nur "Es sei G eine Gruppe und seien U,V zwei Untergruppen von G". V wird für weitere Teilaufgaben benötigt |
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Ich spreche immer noch von der ersten Aufgabe. Können wir uns darauf einigen, welche Aufgabe wir anschauen wollen? |
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Ja die meine ich auch. Es heißt: Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Zeige: ist , dann wird von erzeugt Ich möchte für zeigen, dass gilt. Dann muss ich jedoch noch zeigen, dass ganz erzeugt, oder wie gehe ich an den Beweis ran? Danke! |
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Du musst doch eigentlich zeigen, dass es zu jedem Elemente gibt mit . |
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Stimmt. Mündlich macht das Sinn, denn Nach den Untergruppenaxiomen besteht U aus Elementen und G dann aus den restlichen mit dieser Eigenschaft (und dem entsprechend auch dem Neutralen Element) und diese Produkte bilden ganz G, aber wie zeige ich das genau? |
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Nun, betrachten wir die Links- und Rechtsnebenklassen von in . Dann gilt . Sei nun . Dann gibt es , womit dann auch gilt. Also gibt es , so dass ist. Es gibt alsu , so dass ist, folglich . |
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Danke erstmal!! Aber ich habe noch Rückfragen: 1. wir wissen ja nicht ob G abelsch ist, bei nicht-abelschen Gruppen stimmen Links-und Rechtsnebenklassen nicht überein. Desweiteren verstehe ich nicht, wo genau du gezeigt hast, dass G von G\U erzeugt ist und woher hast du das h und v? |
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Die müssen doch garnicht übereinstimmen. Das setze ich garnicht voraus. |
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Ahh hast du deswegen g und h genommen? Da die Links- und Rechtsnebenklassen nicht identisch sein müssen? Und woher kommt das v? |
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Wenn liegt, dann muss es doch ein - nennen wir es - in geben, so dass ist. Wenn etwas in einer Linksnebenklasse liegt, muss es doch auch in einer Rechtsnebenklasse liegen. |
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Oh ja stimm. Desweiteren verstehe ich nicht, wo genau du gezeigt hast, dass G von G\U erzeugt ist |
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Ich habe gezeigt, dass von erzeugt wird. Was ist denn dann mit den anderen Elementen ;-) ;-) |
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Dann werden die anderen Elemente (also G) auch von G\U erzeugt |
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Klar: wird von erzeugt und natürlich wird von erzeugt, also wird von erzeugt. |
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Zur zweiten Aufgabe: wenn abelsch ist, so ist immer eine Untergruppe von für beliebige Untergruppen von . Nehmen wir daher z.B. die kleinste nichtabelsche Gruppe . Wir wählen zwei 2-elementige Untergruppen in : Dann gilt , das ist kein Teiler von , also ist keine Untergruppe. Gruß ermanus |
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Zu der zweiten Aufgabe: genau dieses Beispiel habe ich am Ende auch genommen (sorry für die späte Antwort). Du hast es mit Lagrange begründet, aber kann man auch sagen, dass UV = {e,(12),(13),(132)} ist und (132) kein Inverses besitzt, somit sind nicht alle Untergruppenaxiome erfüllt? |
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Klar kannst du das so machen :-) Ich war nur zu faul dazu ... |
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