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GL,SL,O,U

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Gruppen

Tags: Gruppen

Dorka aktiv_icon

19:41 Uhr, 08.10.2012

Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen mit der Matrizenmultiplikation Gruppen sind
(wobei

K

einen Körper bezeichnet):

a)

GLn(K)

= {A

∈ Mn(K)

| A

ist invertierbar

}

b)

SLn(K)

= {A

∈ Mn(K)

| det A = 1},

c) O (n) = {A

∈ GLn(R)

| A^{- 1} = A^{t}},

d) U (n) = {A

∈ GLn(C)

| A^{- 1} =

Ā^t

}

.
Köönte mir jemand hier weiterhelfen,wie ich sie beweisen soll?
Dannkeeee

Sina86

20:29 Uhr, 08.10.2012

Hi,

zunächst überlegst du dir, was gezeigt werden muss. Also die Gruppeneigenschaften, welche sind?

Gruß
Sina

Dorka aktiv_icon

00:13 Uhr, 09.10.2012

Also Gruppeneigenschaften sind die:Sei

G

eine nichtleere Menge
1.

a . (b . c) = (a . b) . c

fur alle

a, b, c

aus der

G

(assoziativitat)
2.Es gibt

e

aus der

G

(e-ist die neutrale element) fur alle a aus der

G

dass:a.e=e.a=a
3.Fur alle a aus der

G

es gibt

a^{- 1}

aus der

G

sodass

a . a^{- 1} = a^{- 1} . a = e

dann wird

(G, .)

Gruuppe genannt.
und wenn die kommutativitat gilt dann wird

G

eine abelsche Gruppe genannt oder (kommutative Gruppe):

4 . a . b = b . a

fur alle

a, b

aus der

G

aber wie wende ich das auf Matrizen an?

Sina86

00:37 Uhr, 09.10.2012

Die Frage ist also, ob gewisse Mengen von Matrizen zusammen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe bildet. Die Determinante habt ihr ja z.B. schon behandelt.

1.) Das Assoziativgesetz bzgl. der Matrixmultiplikation sollte bekannt sein, ansonsten muss man das einmal nachrechnen (ist viel Rumrechnerei, aber nicht sonderlich spannend).

2.) Was ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation? Und ist dieses z.B. in

G L_{n} (K)

enthalten? Wenn ja, warum?

3.) Was sind die inversen Elemente einer Matrix bzgl. der Matrixmultiplikation? Sind diese z.B. in

G L_{n} (K)

enthalten? Wenn ja, warum?

4.) Die Abgeschlossenheit der Menge unter Matrixmultiplikation. Z.B. im Fall

G L_{n} (K)

muss man zeigen, dass wenn

A, B \in G L_{n} (K)

$ ist, dass auch

A B \in G L_{n} (K)

ist. Das lässt sich über viele Wege zeigen, am naheliegensten und einfachsten ist es wohl mit der Determinante. Es ist

A \in G L_{n} (K) \Leftrightarrow \det A \neq 0

. Was kann man nun über

\det (A B)

sagen?

Dorka aktiv_icon

01:53 Uhr, 09.10.2012

1. Matrixmultiplikation ist associativ klar
2.das Neutrale element der Matrixmultiplikation ist die EinheitsmAtrix,wo auf die diagonale nur einser sind un oberhalb und unterhalb der diagonale sind nulls.A ist invertierbar wenn

det A

ist ungleich null.ich meine GLn(K) enthalt

d

. Einheitsmatrix.
3.eine Matrix A(nxn Matrix-symmetrische) hat dann inverse wenn

det A

ungleich null ist.ja die inverse ist auch in GLn(K)weil A konnte dann nicht invertierbar sein
4. det(AB)ist gleich

det A . det B,

Stimmt das?

Sina86

11:40 Uhr, 09.10.2012

Hm, also so ganz klar ist die Begründung nicht.

zu 2.) Es ist

\det I = 1

(Normiertheit der Determinante), damit ist die Einheitsmatrix

I

invertierbar.

zu 3.) Wenn

A

invertierbar ist, dann ist

\det A \neq 0

. Per Definition gibt es dann eine Matrix

A^{- 1}

mit

A A^{- 1} = I

. Es gilt also:

\det (A A^{- 1}) = \det A \cdot {\det A}^{- 1} = \det I = 1 \Leftrightarrow {\det A}^{- 1} = \frac{1}{\det A} \neq 0

Damit ist auch

A^{- 1}

invertierbar.

zu 4.) Derselbe Trick:

\det (A B) = \det A \cdot \det B

und da nun

\det A \neq 0 \neq \det B

ist, ist auch

\det A \cdot \det B \neq 0

und somit

A B

invertierbar.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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