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Galois-Erweiterung
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Charakterisierung Galois-Erweiterung via Galoisgruppe
 
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Hallo! In meinem Algebra-Buch steht folgender Satz: Sei ein Körper von Charakteristik 0 und sei eine endliche Körpererweiterung. Sei ein Zwischenkörper. Dann ist genau dann eine Galoiserweiterung (also , wobei mit die Galoisgruppe und mit der Fixkörper bezeichnet sind), wenn für alle ist. Im Beweis ist mir die eine Richtung klar. Wenn ich allerdings zeigen soll, dass Galois-Erweiterung ist, dann wird im Buch folgendermaßen argumentiert. Wir wissen bereits, dass unter den gegebenen Voraussetzungen (nach dem Satz von Artin) äquivalent sind: ist Galois-Erweiterung und es gibt ein Polynom in , für das Zerfällungskörper ist. OBDA ist und wir nehmen das Polynom , wobei mit die (alle) Elemente von gemeint sind. Dass dieses Polynom über in Linearfaktoren zerfällt ist offensichtlich und auch dass Zerfällungskörper von ist, sofern denn die Koeffizienten von aus sind, d.h. sofern denn . Das aber ist mir nicht klar. Für die elementarsymmetrischen Funktionen sehe ich nur ein, dass sie Elemente von sind. Im Buch wird darauf nicht näher eingegangen, sondern es wird auf einen anderen Beweis verwiesen, in dem allerdings eine Galois-Erweiterung vorausgesetzt wird, weswegen dann natürlich ist. Das aber soll ich ja gerade zeigen. Kann mir da jemand helfen? |
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Hallo, in der Vorlesung, in der ich damals über Galois-Erweiterungen lernte, haben wir eine Galois-Erweiterung genau so definiert, wie jetzt zu beweisen ist. Daher stellt sich mir die Frage, wie bei euch Galois-Erweiterung definiert worden ist: separabel und normal? Mfg Michael |
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Wir haben den Begriff nur für Charakteristik 0 und endliche Erweiterung definiert und zwar so: ist Galois-Erweiterung, wenn ist, also wenn die einzigen Elemente die von allen Automorphismen von , die fest lassen, fest gelassen werden, nur die Elemente aus sind. Danke schon mal für deine Rückfrage. |
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Hallo, sorry, blöde Rückfrage, hab nicht ordentlich zuende gedacht bzw. gelesen. Ich finde, dass genau dein Satz hier steht: www.mathe2.uni-bayreuth.de/lina02/l10.2a.pdf Auf Seite 373, Satz 10.3.5. Wenn noch Rückfragen sind... Mfg Michael |
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Du hast Recht, das ist genau was ich suche. Allerdings habe ich noch ein paar Fragen: (Ich verwende ab jetzt die Terminologie aus deinem pdf) Was genau heißt, das normal ist. Ist das im Falle Charakteristik 0 (diese Voraussetzung habe ich ja noch extra) vielleicht äquivalent zu Galois-Erweiterung in "meinem" Sinn? Und vor Allem: Auch hier ist mir nicht klar, warum die sind. Ich verstehe immerhin, dass und damit auch die von jedem Element fixiert wird. Natürlich fixiert dieses Elemente aus , aber es ist doch möglich, dass es ein Element gibt, das auch von allen Elementen aus festgehalten wird. Überhaupt kommt mir vor, schenken wir von der Bedingung einiges her. Wir benutzen nur, dass für alle und selbst davon ist danach nicht mehr die Rede. Ich kann immerhin daraus schließen, dass die einerseits in sind und andererseits von allen festgehalten werden oder anders, dass die Elemente des Fixkörpers von über sind, also dass . Dass aber die sogar in sein müssen verstehe ich nicht. Die obige Menge ist ja nur dann nicht größer , wenn Galois-Erweiterung ist, was ich aber gerade zeigen will! Danke schon mal! |
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Hallo, hm, eine Körpererweiterung heißt normal, wenn gilt: Ist ein über irreduzibles Polynom mit Nullstelle , so zerfällt über . Und ja, im Falle eines Körpers mit Charaktersitik 0 (dort sind alle Erweiterungen separabel) bedeutet normal dann das gleiche wie galoisch, weil eine Körpererweiterung eben genau dann eine Galoiserweiterung ist, wenn sie sowohl normal als auch separabel ist. Und zur zweiten Frage: Nein, der maximale Körper der unter allen -Automorphismen fix bleibt, ist selbst! Bei Teilmengen von mag das ganze anders aussehen. Die Thematik ist eigentlich nicht schwierig, allerdings stark verwoben. Zwei wesentliche Ergebnisse gibt die Galois-Theorie meines Erachtens her: (i) Galoisch ist äquivalent zu separabel und normal. (ii) Im Falle einer endlichen Erweiterung und einem Zwischenkörper gilt (außerdem), galoisch genau dann, wenn . In dem Falle gilt dann . Allerdings ist der Weg dadurch interessanterweise auf vielerlei Arten Möglich. Immer spielen (hebbare) Homomorphismen eine Rolle, auch scheint mir (aus der Erinnerung) stets die Nullstellenmenge eines (irreduziblen) Polynoms wichtig zu sein, was auf normale Erweiterungen hinausläuft. Ich sehe deine konkrete Frage, muss aber zugeben, dass mir eine Seitenangabe zum Script fehlt. Sicher kann ich jetzt suchen, bin aber zu faul dazu. Vielleicht kannst du konkret werden, worauf du dich beziehst? Von mir aus auch in deiner eigenen (ursprünglichen) Literatur?! (Interesse ist jedenfalls vorhanden.) Mfg Michael |
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Du schreibst "... der maximale Körper der unter allen K-Automorphismen φ∈Gal(L:K) fix bleibt, ist K selbst!" bzw. "Vielleicht kannst du konkret werden, worauf du dich beziehst?" Also: Warum ist der maximale Körper der unter allen Elementen von fix bleibt . Wenn ich das wüsste, wäre mein Problem gelöst. Und konkret: In deinem Skript im Beweis von 10.3.5 bei ii) i) verstehe ich alles bis auf die vorletzte Zeile. ist mir klar. Aber warum ist das in ? |
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Nachtrag: Ich habe zwei Beispiele wo (echte Teilmenge). a) Alle Automorphismen der reellen Zahlen halten fest. Der einzige Automorphismus ist aber die Identität. Alle Elemente von werden von der Identität festgehalten (und nicht nur die Elemente aus ). Ich gebe zu bei handelt es sich nicht um eine endliche Körpererweiterung, aber etwa in b) ist es ebenso: . |
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Hallo, so sind Galois-Verbindungen doch definiert!?! algebraisch heißt genau dann Galois-Verbindung, wenn der Fixkörper über ist, d.h. es gilt . Wie du selbst schreibst, ist nicht endlich, nicht mal algebraisch (endlich impliziert algebraisch). Infolge dessen kann bei dieser Erweiterung nicht von galoissch die Rede sein. Die zweite ist endlich (also auch algebraisch), aber es gilt eben (wie du ja selbst feststellst): und nicht . Daher ist diese Erweiterung auch nicht galoissch. Mfg Michael |
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Du lieber Himmel, ich bin ein Esel! Tut mir leid um deine Zeit, jetzt verstehe ich warum wir aneinander vorbeigeredet haben. Ich habe peinlicherweise die Voraussetzung das Galois-Erweiterung ist überlesen, weil ich doch gerade zeigen sollte, dass etwas Galois-Erweiterung ist. Aber eben und nicht ... Ich danke dir für deine Geduld. |
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