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Galois-Gruppe finden

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Tags: Gruppen, Körper, polynom

 
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NFFN1

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12:57 Uhr, 23.12.2021

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Guten Tag,

ich mussdie Galois Gruppe zu folgendem Polynom über finden:
x3+x+1
Ich weiss, dass ich zuerst die Nullstellen bestimmen muss, aber da fängt das Problem schon an.
Wie würde man das Problem am besten lösen?

MfG,
Noah
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

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14:13 Uhr, 23.12.2021

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www.quora.com/How-do-you-solve-x-3+x+1-0
NFFN1

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14:40 Uhr, 23.12.2021

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Braucht man denn überhaupt die exakte Darstellung der Nullstellen um die Galois Gruppen zu finden. Könnte man das nicht iregndwie mit Einheitswurzeln darstellen?
Antwort
michaL

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17:52 Uhr, 23.12.2021

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Hallo,

ich denke, dass man nicht einmal das braucht.

Sicher hat p:=X3+X+1 keine rationale Nullstelle, weil die einzigen beiden infrage kommenden Zahlen ±1 keine Nullstellen sind.

Eine reelle Nullstelle muss eine Funktion 3. Grades aber haben. Da p aber monoton steigend ist (betrachte Ableitung), gibt es keine weiteren reellen Nullstellen.
Damit bleiben nur noch 2 (konjugierte) komplexe Nullstellen.

Insbesondere hat der Zerfällungskörper von p also den Grad 6 (über ).

Damit gilt aber: Die Galoisgruppe hat sozusagen den vollen Grad 3! und ist somit zu S3 isomorph.

Mfg Michael
NFFN1

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18:08 Uhr, 23.12.2021

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Ich bin mir noch nicht ganz sicher wie der Zerfällungskörper aussieht. Warum weiss ich, dass in (x,i) das x Grad 3 über (i) hat? Und wie würden die Automorphismen aussehen?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:52 Uhr, 23.12.2021

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Hallo,

ich würde es anders herum angehen: xx):=3 ist ja unstrittig.

Das Polynom X3+X+1X-x hat dann sicher Grad 2 (sonst müsste p eben doch mehr als eine Nullstelle haben).

Daraus würde ich ableiten, dass der Zerfällungskörper (der nicht unbedingt (x,i) sein muss in meinen Augen) eben Grad 6 über haben muss.

Damit ist die Galoisgruppe als Untergruppe der Sdeg(p) mit Grad 6 halt die volle Gruppe.

Ich muss mir vorher auch keine Gedanken darüber machen, wie die Automorphismen aussehen.
Das kann ich jetzt machen:
Sind x1,x2,x3 die drei verschiedenen Nullstellen von p, so induziert ja jede Permutation σS3 eine Abbildung σ~ der Nullstellen aufeinander nach dem Motto σ~(xi)=xσ(i).

Genaueres könnte ich zunächst auch nur sagen, wenn ich mir die Nullstellen ausrechnen würde, was zwar gehen sollte, aber umfangreich wäre.

Ist denn ein Fehler in meinem Gedankengang?

Mfg Michael
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

20:22 Uhr, 23.12.2021

Antworten
Wenn ich dir sagen könnte ob ein Fehler im Gedankengang ist bräuchte ich diese Frage zu stellen:-)
Ich weiss nicht was du mit xx):=3 gemeint hast aber man muss ja schonmal i adjungieren und hat damit schon Grad 2. Man muss also noch eine weitere Zahl adjungieren, die Minimalpolynom vom Grad 3 hat wenn man auf Grad 6 kommen will. Aber selbst wenn ich mir auf wolframalpha die exakten Nullstelen ansehe wüsste ich nicht welche das wäre.
Was mich auch verwirrt ist, dass nach der Logik, jedes Polynom mit einer reelen und zwei komplexen Nullstellen gleich S3 ist oder?

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

05:58 Uhr, 24.12.2021

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Hallo,

ja, das ist ein Tippfehler.
Gemeint ist, dass der Grad der Erweiterung (x): mit x als der reellen Nullstelle von p=X3+X+1 gerade 3 ist.

Ok, beginnen wir noch einmal.
Sei p:=X3+X+1 und w1 die reelle Nullstelle von p.
Die komplexen und damit komplex konjugierten Nullstellen von p seien dann w2 und w2=:w3.

Es sei K:=, E:=(w1) und Z:=(w1,w2)=E(w2).

Unstrittig sollte sein, dass [E:K]=3 gilt, da p eben das Minimalpolynom von w1 über K ist.
Dann betrachten wir das nunmehr reelle Polynom q:=pX-w1: Es ist normiert und quadratisch (sollte auch klar sein, oder?).
Es hat keine reellen Nullstellen, da sonst p mehr reelle Nullstellen hätte als w1. (Ich habe dir in einem vorherigen posting erklärt, warum p nur genau eine reelle Nullstelle hat!)
Damit ist w2 eine Nullstelle von q und daraus folgt, dass die Erweiterung Z:E quadratisch ist und damit auch w3Z liegen muss.
Infolge dessen ist Z ein Zerfällungskörper von p über K vom Grad 6.

Sicher hattet ihr schon, dass die Galoisgruppe eines Polynoms p vom Grad n=deg(p) isomorph zu einer Untergruppe von Sn ist.
Im diesem Falle muss aus Gradgründen dann schon gelten, dass die Galoisgruppe von p isomorph zur ganzen S3 ist.
Insbesondere gibt es zu jeder Permutation σS3 einen K-Automorphismus σ~ von Z, für den σ~(wi)=wσ(i) gilt.

Wie diese aussehen, das ist eher noch eine akademische Frage, wenn die Aufgabenstellung lautete, dass man die Galoisgruppe von p finden soll.
Will sagen: Genauer geht es nur, wenn man die genaue Darstellung der Nullstellen w1,w2,w3 kennt.
Ist aber nicht nötig, denn man weiß ja jetzt schon, dass die Galoisgruppe zur S3 isomorph ist.

Alles klar geworden?

Fröhliche Weihnachten!

Mfg Michael

Frage beantwortet
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

10:25 Uhr, 24.12.2021

Antworten
Okay, alles klar. Danke für die Hilfe.
Dir auch frohe Weihnachten:-)