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Man finde eine Galoiserweiterung vom Grad 8 mit Erste Idee: Hier gilt wieder: Das Problem hier: In einem vor kurzem angeführten Beispiel wurde gezeigt, dass diese nur isomorph zu ist. Das kann hier aber nicht sein, da wir in der Galoisgruppe genau 8 Elemente haben. Kann mir jemand klären, wie man dieses Paradoxon auflösen kann? Es muss 8 Elemente haben, doch wurde in eine vorigen Beispiel gezeigt, dass die Galoisgruppe nur 4 Elemente haben kann. Aber das zugehörige Kreisteilungs(minimal)polynom hat eindeutig Grad 8. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, was ist ? Die Quaternionengruppe ? Gruß ermanus |
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Hey Ermanus! Ja, genau! :-) Habe gerade gemerkt, dass ich falsch eingesetzt habe. Die 15. Einheitswurzel ist viel weniger schön hinzuschreiben als das was wir vorher besprochen haben. |
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ist auch in Frage kommend. |
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Hallo, die Galoisgruppen der Kreisteilungskörper (n-te Einheitswürzelkörper) sind alle abelsch, kommen also nicht in Frage, da nichtabelsch ist. ist meiner Ansicht nach nicht galoissch, weil nicht normal. Melde mich nun ab bis morgen ... Gute Nacht ermanus |
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Alles klar! Gute Nacht, Ermanus! |
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Hallo, um ein geeignetes Polynom zu finden, muss man sich mE die Untergruppenstruktur der Quaternionengruppe erarbeiten. Kennst du die? Mfg Michael |
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Hallo, könnte "Aufspüren" auch heißen, dass man das Internet durchsucht? Gruß ermanus |
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Hallo, das Ganze wird darauf hinauslaufen, z.B. einen "Körperturm" der Form zu finden, da zeigt, dass man mit sukzessiven quadratischen Erweiterungen auskommt. Dabei wird das "?" sicher ein wenig komplzierter sein. Gruß ermanus |
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Allgemein kann man nun einen Ansatz für das "?" machen: . Habe mit diesem allgemeinen Ansatz herumprobiert, bin aber zugegebenermaßen in einem Wust von Undurchsichtigkeit gelandet. Nach diversen "Experimenten" drängte sich mir der Wunsch auf, dass der Radikand eine überschaubare multiplikative Struktur haben müsste: . Dann hätte man eine Chance nicht die Übersicht zu verlieren. Ich gebe zu, dass ich irgendwie nicht mehr weiterkam und deswegen das Internet befragte. Dort konnte man sehen, dass das hier gestellte Problem in mehreren Universitäten umgekehrt gestellt wurde: man sollte zeigen, dass eine zu isomorphe Galoisgruppe hat. Ich denke, dieses Problem können StudentInnen lösen, auch wenn es nicht einfach ist. Sei also . Als erstes suchen wir ein rationales Polynom, das zur Nullstelle hat. Fortsetzung folgt ... |
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Es ist , also , . ist also Nullstelle des Polynoms . Nun betrachten wir die 8 Zahlen . Alle diese 8 verschiedenen Zahlen sind Nullstellen von , wie man leicht nachrechnen kann. Soweit erstmal .... |
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Mit ein bisschen Rechnerei kann man sich davon überzeugen, dass die Elemente sämtlich enthält und damit Zerfällkungskörper von ist. Bekanntermaßen operiert die Galoisgruppe von über transitiv auf der Menge der Nullstellen von . Hieraus können wir diverse Eigenschaften von herleiten, die uns zeigen werden, dass gelten muss. In den folgenden Beiträgen werde ich dies darlegen. Gruß ermanus |
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