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Galoiserweiterung aufspüren

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Tags: Gruppen, Körper

 
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Berenike

Berenike aktiv_icon

22:51 Uhr, 27.06.2020

Antworten
Man finde eine Galoiserweiterung L vom Grad 8 mit Gal(L,)Q8.

Erste Idee: [(ζ15):]=8.

Hier gilt wieder: (ζ15)=(i,2)

Das Problem hier: In einem vor kurzem angeführten Beispiel wurde gezeigt, dass diese nur isomorph zu V4 ist. Das kann hier aber nicht sein, da wir in der Galoisgruppe genau 8 Elemente haben.

Kann mir jemand klären, wie man dieses Paradoxon auflösen kann? Es muss 8 Elemente haben, doch wurde in eine vorigen Beispiel gezeigt, dass die Galoisgruppe nur 4 Elemente haben kann. Aber das zugehörige Kreisteilungs(minimal)polynom hat eindeutig Grad 8.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:12 Uhr, 27.06.2020

Antworten
Hallo,
was ist Q8 ? Die Quaternionengruppe ?
Gruß ermanus
Berenike

Berenike aktiv_icon

23:13 Uhr, 27.06.2020

Antworten
Hey Ermanus!

Ja, genau! :-)

Habe gerade gemerkt, dass ich falsch eingesetzt habe. Die 15. Einheitswurzel ist viel weniger schön hinzuschreiben als das was wir vorher besprochen haben.
Berenike

Berenike aktiv_icon

23:27 Uhr, 27.06.2020

Antworten
(28) ist auch in Frage kommend.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:42 Uhr, 27.06.2020

Antworten
Hallo,
die Galoisgruppen der Kreisteilungskörper (n-te Einheitswürzelkörper)
sind alle abelsch, kommen also nicht in Frage, da Q8 nichtabelsch ist.
(28) ist meiner Ansicht nach nicht galoissch,
weil nicht normal.
Melde mich nun ab bis morgen ...
Gute Nacht
ermanus
Berenike

Berenike aktiv_icon

23:43 Uhr, 27.06.2020

Antworten
Alles klar!

Gute Nacht, Ermanus!
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

10:19 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Hallo,

um ein geeignetes Polynom zu finden, muss man sich mE die Untergruppenstruktur der Quaternionengruppe erarbeiten.
Kennst du die?

Mfg Michael
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:30 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Hallo,
könnte "Aufspüren" auch heißen, dass man das Internet
durchsucht?
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:20 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Hallo,
das Ganze wird darauf hinauslaufen, z.B. einen "Körperturm" der Form
(2)(2,3)(2,3,?) zu finden,
da Q8 zeigt, dass man mit sukzessiven quadratischen Erweiterungen
auskommt. Dabei wird das "?" sicher ein wenig komplzierter sein.
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:06 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Allgemein kann man nun einen Ansatz für das "?" machen:
?=a+b2+c3+d6=:α.
Habe mit diesem allgemeinen Ansatz herumprobiert, bin aber zugegebenermaßen
in einem Wust von Undurchsichtigkeit gelandet.
Nach diversen "Experimenten" drängte sich mir der Wunsch auf,
dass der Radikand eine überschaubare multiplikative Struktur haben müsste:
(a+b2)(c+d3). Dann hätte man eine Chance nicht die Übersicht
zu verlieren. Ich gebe zu, dass ich irgendwie nicht mehr weiterkam und deswegen
das Internet befragte.
Dort konnte man sehen, dass das hier gestellte Problem in
mehreren Universitäten umgekehrt gestellt wurde:
man sollte zeigen, dass (2,3,(2+2)(3+3)) eine zu Q8 isomorphe
Galoisgruppe hat.
Ich denke, dieses Problem können StudentInnen lösen,
auch wenn es nicht einfach ist.

Sei also α=(2+2)(3+3).
Als erstes suchen wir ein rationales Polynom, das α zur Nullstelle hat.

Fortsetzung folgt ...

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:53 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Es ist
α2=6+32+23+6, also
(α2-(6+6))2=18+126+12=30+126,
α4-2(6+6)α2+(36+126+6)=30+126
α4-12α2+12=26α2,
(α4-12α2+12)2-24α4=0.

α ist also Nullstelle des Polynoms
p(X)=(X4-12X2+12)2-24X4.

Nun betrachten wir die 8 Zahlen
±(2±2)(3±3).
Alle diese 8 verschiedenen Zahlen α=α1,,α8 sind Nullstellen von p(X),
wie man leicht nachrechnen kann.

Soweit erstmal ....


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:35 Uhr, 30.06.2020

Antworten
Mit ein bisschen Rechnerei kann man sich davon überzeugen,
dass L=(2,3,α) die Elemente
α,α2,,α8 sämtlich enthält und damit
Zerfällkungskörper von p ist.
Bekanntermaßen operiert die Galoisgruppe G von L über
transitiv auf der Menge der Nullstellen von p.
Hieraus können wir diverse Eigenschaften von G herleiten,
die uns zeigen werden, dass GQ8 gelten muss.
In den folgenden Beiträgen werde ich dies darlegen.

Gruß ermanus
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