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Galoisgruppe angeben
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Galoisgruppe, Körper, Zerfällungskörper
 
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Hallo! Google hatte mich schon ein paar Mal zu diesem Forum geführt. Jetzt muss ich selbst eine Frage stellen. Wahrscheinlich ist die Aufgabe nicht schwierig für euch... Wir haben aber gerade erst mit der Galoistheorie angefangen: Und zwar sollen die Galoisgruppen von bzw. bestimmt werden. Fangen wir mit an... Wenn ich es richtig verstanden habe, ist es sinnvoll, zunächst die Nullstellen ( und ) und den Grad des Zerfällungskörpers () zu ermitteln. Aber jetzt kommt das Neuland... Wie mache in der Regel jetzt am besten weiter? GLG Anna Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, es sind ja zunächst zwei verschiedene Aufgaben. Wir stellen erst einmal fest, dass der Zerfällungskörper von über gerade . Wir betrachten also zunächst die Erweiteurng mit . Offenbar ist nicht irreduzibel über ist, da gilt. Insbesondere ist die Erweiterung vom Grad 4. Um das einzusehen, betrachte etwa die Erweiterungkette . Insbesondere müssen also 4 Isomorphismen gefunden werden. Der eine ist die Identität . Ein weiterer () transponiert und , d.h. er leistet , während . Umgekehrt gibt es dann noch mit , aber dann . Zu guter letzt gibt es dann noch . Insbesondere ist die Galoisgruppe isomorph zu . So, jetzt verdauen wir das erst einmal. Ich könnte mir denken, dass dazu Fragen auftreten... Mfg Michael |
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Danke Michael. Es geht glaube ich sogar. Ich hoffe, ich täusche mich nicht, aber ich habe eine "schlimmere" Antwort erwartet :-) Das mit Körpererweiterungsgrad 4 hatte ich oben auch herausbekommen. Aber genau das mit den 4 Automorphismen hatte mir z.B. gefehlt, um weiterzumachen. Also mittlerweile weiß ich, dass gilt, wenn eine endliche Galoiserweiterung – also eine endliche, normale und separable Körpererweiterung – ist. Das muss ich noch kurz argumentieren. Dass die Identität immer dabei ist bei einer Gruppe, verstehe ich. Wie du auf die anderen 3 Automorphismen kamst... ist das Erfahrung? Also es sieht gut aus :-). Ist die Galoisgruppe eigentlich eindeutig?  |
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Hallo, wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe, dann ist der Teil klar, oder? Wäre nun die Frage, wie der andere Teil ablaufen soll? Kannst du den jetzt auch ohne Hilfe? Mfg Michael |
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Also der zweite Teil (ab der Sache mit den Automorphismen) ist mir noch nicht so ganz klar in dem Sinn, dass ich es selbst nicht reproduzieren könnte... Gut sieht es aus, aber selbst darauf gekommen wäre ich niemals... |
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Okay, ich verstehe es doch nicht so ganz... Also die 4 Automorphismen müssen Nullstelle auf Nullstelle abbilden, aber lassen... Muss ich jetzt eigentlich die 3 nichttrivialen Automorphismen explizit angeben, oder reicht es, wenn ich wie du schreibe " transponiert , d.h. er leistet "? Warum muss für diesen gelten? |
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Hallo, > Muss ich jetzt eigentlich die 3 nichttrivialen Automorphismen explizit σ:L→L,x↦y angeben, oder reicht es, wenn > ich wie du schreibe "σ transponiert ±45√, d.h. er leistet σ(±45√)=∓45√"? Das weiß ich nicht genau. Das hängt so ein bisschen davon ab, wie eure Korrektoren drauf sind. Klar sollte sein, dass der Zerfällungskörper ist. Wenn das klar ist, dann solltest du wissen, dass z.b. eine Basis von (über ) ist. (Das korreliert damit, dass der Grad der Erweiterung 4 ist.) Dann reicht es für jeden Vektorraumhomomorphismus (und die Automorphismen sind ja vor allem genau das), wenn man die Bilder auf einer Basis angibt. Weil die Automorphismen den Grundkörper festlassen müssen, muss für jeden Automorphismus schon gelten. Desweiteren siehst du, dass das Bild von schon durch die Bilder von und festliegt (weil der Automorphismus eben nicht nur ein Vektorraumhomomorphismus ist). Die letzte Info, die du brauchst, ist die, dass die Bilder von und unabhängig gewählt werden können. Und das deshalb, weil sie nicht(!) Nullstellen des gleichen irreduziblen Polynoms sind. Oder anders ausgedrückt: Klar sollte sein, dass die Nullstellen des Teilpolynoms zueinander gehören und die Nullstellen des Teilpolynoms zueinander gehören. Heißt, sie können nur auf die zueinander gehörenden Nullstellen abgebildet werden, nicht aber auf die des anderen Teils. Mfg Michael |
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Danke Michael für deine Mühe und langen Antworten. Im Großen und Ganzen habe ich es verstanden. Ein bisschen kommt mir das Ganze noch ungewohnt vor. Aber das ist leider normal in Mathe bei einem neuen Thema. Einen schönen Sonntag dir noch! :-) GLG Anna |
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Hallo, > Einen schönen Sonntag dir noch! :-) Danke, gleichfalls. Bleibt trotzdem noch die Frage, wie es beim zweiten Teil der Aufgabe aussieht: Welches ist die Galoisgruppe von über ? Kannst du es selbst? (Wäre klasse.) Mfg Michael |
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Guten Morgen. Ich habe zumindest raus, dass die Ordnung der Galoisgruppe wieder 4 ist und eine Basis des -Vektorraums bildet. Mit den Automorphismus-Elementen der Galoisgruppe tue ich mich aber schwer... Das muss dieses Mal irgendwas mit Potenzieren sein? GLG Anna |
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Hallo, Basis ist ok. Die Erweiterung ist einfach, d.h. es genügt, nur eine der Nullstellen hinzuzufügen und trotzdem sind alle Nullstellen dann enthalten. Das hat damit zu tun, dass über irreduzibel ist. (Das kann man übrigens beweisen.) Das hat Konsequenzen: 1. Legt man ein Bild von fest, sind damit auch schon die Bilder der anderen Basismitglieder festgelegt. (Klar: muss sein, und . 2. Es gibt keinen Grund, warum nicht Nullstelle von als Bild von infrage komme. Damit sind deine 4 möglichen Automorphismen festgelegt. Insbesondere ist die Galoisgruppe isomorph zu . Vielleicht noch einmal ein bisschen exakter: Sicher hattet ihr den Satz, dass für ein über dem Körper algebraisches Element und jede Nullstelle von (Minimalpolynom von über ) die Erweiterungskörper und -isomorph zu ist?! Da aber einfachen Erweiterungen , , und identisch sind, ist jeder der oben angedeuteten -Isomorphismen schon ein -Automorphismus. Offenbar reicht es dann schon, die vier Abbildungen herzunehmen, die dadurch induziert werden, dass auf jede der vier möglichen Nullstellen von abgebildet wird. Mfg Michael |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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