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Galoisgruppe eines Polynoms finden

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Tags: Gruppen

Berenike aktiv_icon

19:18 Uhr, 24.06.2020

Hallo liebe Mathematikermänner und Mathematikerfrauen!

Die Situation ist die: Ich habe ein paar wichtige Aufgaben für ein Projekt zu bewältigen, aufgrund der Coronakrise konnten wir aber diesmal die Profs kaum zu Unklarheiten fragen. Deswegen bitte ich euch diesmal etwas nachsichtig zu sein, wenn ich bestimmte Sachen nicht so leicht selber beantworten kann.

Hier die Aufgabe:
"Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms

p = X^{6} + X^{4} + X^{2} + 1

über

ℚ

und über

F_{5}

"
Meine erste Frage dazu ist: Muss man das Polynom faktorisieren können um Körper-Automorphismen aufstellen zu können? Ich wüßte nicht, wie man die Nullstellen miteinander vertauschen soll, wenn man sie nicht kennt.

Hier ist jedenfalls mal die Faktorisierung:

p = (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) = (x - i) (x + i) (x^{2} - i) (x^{2} + i) =

= (x - i) (x + i) (x - e^{i * π / 4}) (x + e^{i * π / 4}) (x - e^{(7 * π / 4) * i}) (x + e^{(7 * π / 4) * i})

p

hat also die "Wurzeln"

\pm i, \pm e^{i * π / 4}, \pm e^{(7 * π / 4) * i}

Wie erhalten also den Zerfällungskörper K von

p

, indem wir an den Grundkörper

ℚ

alle Nullstellen von

p

adjungieren. Der Zerfällungskörper von

p

ist also

ℚ (i, - i, e^{i * π / 4}, - e^{i * π / 4}, e^{(7 * π / 4) * i}, - e^{(7 * π / 4) * i}) .

Wir wissen außerdem, dass ein Körper, der ein Element

a

enthält, auch dessen additives Inverses

- a

enthält und somit der Zerfällungskörper

K

folgende einfachere Darstellung haben muss:

K := ℚ (i, e^{i * π / 4}, e^{(7 π / 4) i})

Da der Grad der Körpererweiterung der Anzahl der Automorphismen unserer Automorphismengruppe entspricht, müssen wir also

[K : ℚ]

bestimmen, um leichter und schneller all unsere Elemente der gesuchten Gruppe

G a l := G a l (K / ℚ)

angeben zu können.
Idee dazu: Die Gradformel hilft!
Wegen

ℚ \subseteq ℚ (i) \subseteq ℚ (i, e^{i * (π / 4)}) \subseteq ℚ (i, e^{i * (π / 4)}, e^{i * (7 π / 4)}) = K

Kette von Körpererweiterungen, gilt also

[K : ℚ] = [K : ℚ (i, e^{i * (π / 4)})] \cdot [ℚ (i, e^{i * (π / 4)}) : ℚ (i)] \cdot [ℚ (i) : ℚ]

Meine erste Frage ist mal, wie kann ich zum Beispiel

[K : ℚ (i, e^{i * (π / 4)})]

feststellen? Ich weiß, dass man durch den Grad von Minimalpolynomen arbeiten muss, aber wie soll hier das Minimalpolynom aussehen?

Wäre echt dankbar, Jungs und Mädels, wenn ihr mir weiterhelfen könnt! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gaubes aktiv_icon

19:55 Uhr, 24.06.2020

Würde gerne helfen, fühle mich aber leider nicht angesprochen.

Viel Erfolg noch bei der Suche nach einer Lösung!

ermanus aktiv_icon

21:24 Uhr, 24.06.2020

Hallo Mädel,
überlege dir, dass der Zerfällungskörper über

ℚ

der körper der 8-ten Einheitswurzeln ist, also

ℚ (ζ)

mit einer primitiven 8-ten Einheitswurzel

ζ

.
dazu wirst du sicher viel im Internet finden.
Das 8-te Kreisteilungspolynom ist das Minimalpolynom von

ζ

.
Bei wikipedia findest du es ...
Gruß "Junge" ermanus (72)

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.06.2020

Hallo,

wegen

p = x^{6} + x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)

ist

p

NICHT irreduzibel.
Das ist insofern von Bedeutung, als dass die Nullstellen der irreduziblen Faktoren nur wieder auf Nullstlellen des gleichen Faktors abgebildet werden können.

Weiter sollte man festhalten, dass beide Faktoren irreduzibel (über

ℚ

) sind.
Bei

q := x^{2} + 1

sollte das klar sein.
Bei

r := x^{4} + 1

helfen

(x + 1)^{4} + 1 = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 2

und Eisenstein.

Ok, einen Schritt nach dem anderen.

Wir betrachten also erst einmal die Erweiterung

K : ℚ

mit

K := ℚ [i]

.

Sie ist vom Grad zwei. Wir haben als einzige zwei Abbildungen die Identität (

i \mapsto i

) und die komplexe Konjugation (

i \mapsto - i

).

Das Gute an der Sache ist, dass über

K

auch

r = x^{4} + 1 = (x^{2} + i) (x^{2} - i)

zerfällt, sodass sich die Nullstellen

n_{1} := \frac{1 + i}{\sqrt{2}}

n_{2} := - \frac{1 + i}{\sqrt{2}}

n_{3} := \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = i \cdot (- \frac{1 + i}{\sqrt{2}})

und

n_{4} := - \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = i \cdot (\frac{1 + i}{\sqrt{2}})

ergeben.

Insbesondere erkennt man, dass über

L := ℚ [i, \sqrt{2}]

sowohl

q

als auch

r

und damit schon

f

zerfällt.
Da

x^{2} + 1

nicht das Minimalpolynom von

\sqrt{2}

ist, gibt es dafür nur zwei weitere Möglichkeiten zur Abbildung:

\sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}

und

\sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2}

.

Wir haben also 4 Möglichkeiten:

σ_{1}

i \mapsto i

und

\sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}

σ_{2}

i \mapsto i

und

\sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2}

σ_{3}

i \mapsto - i

und

\sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}

σ_{4}

i \mapsto - i

und

\sqrt{2} \mapsto - \sqrt{2}

.

Das korreliert damit, dass die Bilder der Nullstellen von

r

durch de Wahl des Bildes EINER Nullstelle schon festgelegt sind (s.o.).
So induziert

n_{1} \mapsto n_{1}

die Identität (

σ_{1}

n_{1} \mapsto n_{2}

wird durch

σ_{2}

induziert.

n_{1} \mapsto n_{3}

wird durch

σ_{3}

induziert.

n_{1} \mapsto n_{4}

wird durch

σ_{4}

induziert.
(Spaßeshalber kannst du ja mal berechnen, wie die Abbildungen die Nullstellen permutieren.)

Ich hoffe, dass hilft dir weiter. Wenn ich deinen Beitrag nochmal lese, bemerke ich, dass vermutlich die Faktorisierung von

x^{4} + 1

(x^{2} + i) (x^{2} - i)

schon gereicht hätte.

Mfg Michael

PS: Ich hätte es wissen müssen...
Entschuldige ermanus. Ich habe nur einfach ewig zum Tippen gebraucht.

ermanus aktiv_icon

21:56 Uhr, 24.06.2020

Hallo Michael,
dein konkreter Ansatz ist doch für die Studentin sehr lehrreich.
Fühle mich nicht gestört. Ganz im Gegenteil :-)
Gruß ermanus

Berenike aktiv_icon

22:20 Uhr, 24.06.2020

Hey MichaL!

Oh wow, vielen Danke für deine ausführliche didaktische Aufbereitung! Das macht vieles klarer!! :-)))

Kannst du mir noch einen Tipp geben, wie ich es über

F_{5}

schaffen kann? Muss ich einfach alles modulo 5 reduzieren? Aber wie mache ich das, wenn man nicht sieht ob die einzelnen Faktoren modulo 5 sind? Also das obige Polynom mod 5 bearbeiten, wie soll da allgemein gehen?

ermanus aktiv_icon

22:39 Uhr, 24.06.2020

Hallo,
über

F_{5}

gilt

X^{4} + 1 = (X^{2} + 2) (X^{2} - 2)

. Vielleicht kannst du. damit etwas anfangen?
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

13:38 Uhr, 25.06.2020

Hallo Berenike,
willst du nicht wissen, wie es weitergeht?
Wenn alles klar ist, bitte abhaken.
Ansonsten gib ein "Lebenszeichen" ;-)
Gruß ermanus

Berenike aktiv_icon

15:23 Uhr, 25.06.2020

Lieber Ermanus!

Gaz ehrlich, ich habe mich von diesem Ring abschrecken lassen. Ich kann zwar gut mod 5 mit Zahlen rechnen. Ich mag auch Sätze wie kleiner Satz von Fermat und Satz von Wilson, aber bei Polynomen habe ich noch nicht so viel Erfahrung mod 5 zu rechnen. Wo kann man das lernen oder ist es einfacher als es aussieht?

Du hattest mir ein Beispiel geschickt. Ja, das hab ich verstanden. Deine Idee war es, die Konstanten des Polynoms mod 5 zu rechnen. Aber wie macht man das, wenn es nicht vorkommt? Zum Beispiel so etwas wie

x^{4} + x^{2}

. Muss man da mit dem Satz von der Division mit Rest arbeiten und 5 Fallunterscheidungen mod 5 machen?

ermanus aktiv_icon

15:29 Uhr, 25.06.2020

Hallo,
es ist in der Tat vermutlich einfacher als du denkst ;-)
Wenn man mit Polynomen rechnet, rechnet man doch eigentlich nur mit
deren Koeffizienten und das sind dann eben Zahlen mod 5.
Ich verstehe dein Problem

x^{4} + x^{2}

nicht. Was willst du mir damit sagen ;-)

Berenike aktiv_icon

15:36 Uhr, 25.06.2020

Hey du!

Freut mich, dass du dir für mich Zeit nimmst das besser zu verstehen :-)

Also, zum Beispiel das faktorisieren:

x^{4} + x^{2} = x^{2} (x^{2} + 1) = x^{2} (x - i) (x + i)

. Richtig auch in

F_{5}

, oder? Weil du hast mir ja erklärt, dass mod5 ja so wie mit normalen Zahlen zu rechnen ist. Also, da alle Koeffizienten 1 sind, kann man das so lassen, richtig?

Aber du meinst wahrscheinlich, dass in F_5 das Polynom

40 x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12

x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2

übergeht?

Und kann ich so auch zur Galoisgruppe gehen nach dieser Vorgehensweise der Reduktion mod 5 ?

michaL aktiv_icon

15:44 Uhr, 25.06.2020

Hallo,

wenn ich mich noch einmal einschalten darf...

Mod 5 (also über dem Körper

F_{5}

) reduziert sich das Problem deutlich.

Die Faktorisierung von

f = x^{6} + x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)

gilt auch über

F_{5}

. Es gilt aber noch mehr, nämlich:

(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4 \equiv x^{2} + 1

mod 5, da

- 4 \equiv 1

mod 5 gilt.
Insbesondere hat

F_{5}

schon ein Element, dessen Quadrat

- 1

ist:

\pm 2

Deshalb will dir ermanus mitteilen, dass du also nur noch den Teil

x^{4} + 1 \equiv x^{4} - 4 = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2)

mod 5 zu betrachten brauchst, wenn es um Erweiterungen durch Nullstellen geht.
Da es keine Zahlen in

F_{5}

gibt, deren Quadrat gleich 2 oder -2 ist, musst du also wieder erweitern.

Kommst du ab hier alleine vorwärts?

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

15:44 Uhr, 25.06.2020

Also die Zerlegung

x^{2} + 1 = (x + i) (x - i)

kannst du in

F_{5}

nicht machen,
da

i

in diesem Restklassenkörper garnicht definiert ist.
Es gibr aber in

F_{5}

ein Element, dessen Quadrat

- 1

ist, nämlich

2

, da

2 \cdot 2 = 4 = - 1

mod

5

, also gilt

x^{2} + 1 = (x + 2) (x - 2) = (x + 2) (x + 3)

.
Was deine Einschrumpfung des Polynoms

40 x^{4} + \dots

mod

5

angeht, siehst du das ganz richtig.
Die Bestimmung der Galoisgruppe geschieht dann eben auch unter
Berücksichtigung der mod 5 Reduktion.

P.S.: vielen Dank Michael :-)

ermanus aktiv_icon

09:15 Uhr, 26.06.2020

Hallo,
bevor dieser Thread stirbt, lass ihn uns weiter aktiv halten:
Michael hat ja schon gesagt, dass man

F_{5}

erweitern muss, um einen (den)
Zerfällungskörper von

(x^{2} - 2) (x^{2} + 2)

zu erhalten.
Sei dazu zunächst

α

eine Nullstelle von

x^{2} - 2

, dann ist

- α

die andere Nullstelle dieses Polynoms. Als erste Erweiterung haben wir also

F_{5} (α)

. Entweder hat nun

x^{2} + 2

eine Nullstelle in

F_{5} (α)

,
so dass

F_{5} (α)

bereits Zerfällungskörper von

x^{4} + 1

ist oder man
muss diesen Körper nochmals erweitern durch Adjunktion einer Nullstelle von

x^{2} + 2

.
Das solltest du untersuchen !
Gruß ermanus

Berenike aktiv_icon

10:18 Uhr, 26.06.2020

Die Frage mag naiv klingen, trotzdem bin ich mir nicht sicher:
Rechnen wir hier in

F_{5}

oder in

F_{5} [X]

? Ich glaube doch eher das zweite? Der Prof. hat nur F_5 geschrieben, aber wir rechnen ja eigentlich mit Polynomen...

ermanus aktiv_icon

10:20 Uhr, 26.06.2020

Die Polynome, von denen wir hier sprechen, liegen in

F_{5} [X]

.
Aber die Elemente, die wir einsetzen, liegen in

F_{5}

oder
einem Oberkörper von

F_{5}

Berenike aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.06.2020

Ok, also du sagst, dass quasi die Rechenregeln von

F_{p} [X], p \in ℙ

hier gelten. Das heißt Fermat und Wilson, Reziprozitätsgesetz, etc. gelten hier?

ermanus aktiv_icon

10:38 Uhr, 26.06.2020

Diese Sätze gelten natürlich nur für die Koeffizienten,
bzw. wenn man Elemente aus

F_{p}

in die Polynome einsetzt.

X^{p}

ist nicht gleich

X

Berenike aktiv_icon

10:39 Uhr, 26.06.2020

Du redest von einem Oberkörper von

F_{5}

. Das verstehe ich gerade nicht. Ich dachte, dass doch zum Beispiel

F_{25}

ein TEIL-Körper oder zumindest eine Teilmenge ist, aber doch keine Obermenge. Jedes Vielfache von 25 ist ja durch 5 teilbar, aber nicht jedes Vielfache von 5 ist durch 25 teilbar.

ermanus aktiv_icon

10:42 Uhr, 26.06.2020

F_{25}

ist ein quadratischer Erweiterungskörper von

F_{5}

.
Du verwechselst wohl

F_{25}

mit

Z / 25 Z

oder mit

25 Z

F_{25}

hat 25 Elemente,

F_{5}

nur 5.

Berenike aktiv_icon

10:54 Uhr, 26.06.2020

Ok, also verstehe ich das richtig:
Ich soll die Faktoren

(x^{2} + 1)

und

(x^{4} + 1)

so oft reduzieren und erweitern bis nur noch Ausdrücke der Form

(x - a), (x - b), (x - c), (x - d), (x - e), (x - f)

mit

a, \dots, f \in F_{5}

übrig bleiben. Damit ich dann "möglichst ähnliche" auf "möglichst ähnliche" Nullstellen (homomorph) abbilden kann?

ermanus aktiv_icon

11:01 Uhr, 26.06.2020

Michael hatte ja schon gesagt, dass

x^{2} + 1

über

F_{5}

bereits
in Linearfaktoren zerfällt:

x^{2} + 1 = (x + 2) (x - 2)

.
Daher suchen wir nur noch einen Zerfällungskörper von

X^{4} + 1

.
Da

x^{4} + 1 = (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)

ist, müssen wir nur noch

F_{5}

so erweitern,
dass die beiden Faktoren

x^{2} + 2

und

x^{2} - 2

ebenfalls in Linearfaktoren
zerfallen. Wie dann die Elemente der Galoisgruppe aussehen, überlegen
wir uns hernach. Du hast insofern Recht, als die Elemente der Galoisgruppe
die Nullstellen von

x^{4} + 1

im Zerfällunbgskörper permutieren.
Deine

a, \dots, f

liegen nicht im Grundkörper

F_{5}

, sondern in einem
Erweiterungskörper von

F_{5}

Berenike aktiv_icon

11:07 Uhr, 26.06.2020

Ok, ich probiere es mal bevor ich deinen Text durchlese:
Es gilt:

x^{6} + x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) .

x^{2} + 1 = x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) = (x + 3) (x - 3)

und

x^{4} + 1 = x^{4} - 4 = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = (x^{2} + 3) (x^{2} + 2)

Folglich haben wir insgesamt

p = (x + 3) (x + 2) (x^{2} + 3) (x^{2} + 2)

. Weiter lassen sich dabei die letzten beiden Faktoren in

F_{5}

NICHT mehr zerlegen.

ermanus aktiv_icon

11:08 Uhr, 26.06.2020

Das ist richtig :-)

Berenike aktiv_icon

11:14 Uhr, 26.06.2020

Freut mich! :-))

Also, was soll ich als nächstes tun:
Soll ich Nullstellen außerhalb

F_{5}

F_{5}

adjungieren oder soll ich jetzt schon überlegen welche Nullstelle auf welche andere abgebildet werden soll?

EDIT: Du hast von einem Erweiterungskörper gesprochen. Ok, das heißt, ich muss wohl an

F_{5}

etwas adjungieren :-)

ermanus aktiv_icon

11:17 Uhr, 26.06.2020

Habe ich dir bereits mitgeteilt ;-)
Adjungiere eine Nullstelle von

x^{2} + 3

.
Nennen wir diese z.B.

α

, so dass du nun einen
Erweiterungskörper

L := F_{5} (α)

hast ...

Berenike aktiv_icon

11:34 Uhr, 26.06.2020

Okay, also Nullstellen von

x^{2} + 3

sind:

\pm \sqrt{3} i .

Das heißt mit

L := F_{5} (i \sqrt{3})

haben wir aufgrund der Körperaxiome (mit jedem

a \in K \Rightarrow - a \in K

) alle Nullstellen von

x^{2} + 3

dabei.

Das andere Polynom ist ja sicher auch noch zu bearbeiten, das andere quadratische Teilpolynom mein ich.

Also müsste

L = F_{5} (i \sqrt{2}, i \sqrt{3})

sein.

ermanus aktiv_icon

11:46 Uhr, 26.06.2020

Das kannst du so nicht schreiben, weder

\sqrt{3}

, noch

i

liegen in einem
endlichen Körper. Die liegen doch in

ℂ

und das ist
keine Körpererweiteung von

F_{5}

; denn sonst müsste ja in

ℂ

die Gleichung

5 = 0

gelten.
Das einzige, was du weißt, ist

L = {x + y α ∣ x, y \in F_{5}}

mit der Rechenregel

α^{2} = 2

.
Das ist die gleiche Situation wie bei der Erweiterung von

ℝ

durch Adjunktion einer Nullstelle von

x^{2} + 1

. Wenn wir die Nullstelle
"zufällig"

i

nennen, haben wir den Körper

{x + y i ∣ x, y \in ℝ}

mit der Rechenregel

i^{2} = - 1

.
Du müsstest dann in der Tat mit dem zweiten Polynom analog verfahren.
Ich würde stattdessen gucken, ob nicht bereits

x^{2} + 2

über

L

in Linearfaktoren zerfällt. Dazu muss man nur schauen, ob dieses
Polynom in

L

eine Nullstelle hat.

Wenn du die beiden Nullstellen der Polynome

x^{2} + 3

und

x^{2} + 2

α, β

nenntest, hättest du beim analogen Vorgehen
in der Tat

L = F_{5} (α, β)

.
Aber vielleicht ist ja bereits

F_{5} (α, β) = F_{5} (α)

Berenike aktiv_icon

15:12 Uhr, 26.06.2020

So, Mittagspause ist vorbei, bin wieder da ;-)

Ich probiere es jetzt, auch wenn ich es komisch finde. :-)

ermanus aktiv_icon

15:16 Uhr, 26.06.2020

Freue mich, dich wieder frischpausiert begrüßen zu dürfen ;-)
Ich gebe zu, dass dieses Rechnen und argumentieren über endlichen
Körpern sehr gewöhnungsbedürftig ist. Habe es selbst ja auch nicht
gerade innerhalb eines Tages verstehen können.
Aber nur Mut !

Berenike aktiv_icon

15:49 Uhr, 26.06.2020

Ok, ich werde gleich zeigen, dass

F_{5} (α, β) = F_{5} (α)

gilt.

Was ich mich dabei noch verwirrt: du hattest geschrieben, dass

ℂ

nicht vorkommen kann und somit die Wurzeln des Polynoms nicht vorkommen können. Wie soll man aber das obige dann zeigen können?

Verzeih bitte eine eventuell naive Frage, bald bin ich sicher besser ;-)

ermanus aktiv_icon

15:58 Uhr, 26.06.2020

Du weißt, dass

α^{2} = 2

ist und dass

β^{2} = 3

ist.
Das ist sozusagen das Einzige, was du von

α

und

β

weißt.
Du weißt aber ferner, dass

F_{5} (α)

aus den Elementen der
Gestalt

x + y α

besteht. Das sind 25 Elemente. Du könntest
sie alle hernehmen und prüfen, ob vielleicht bei einem dieser
Elemente

(x + y α)^{2} = 3

ist ...
Kleiner Tipp: du kannst dabei immer

x = 0

annehmen, also bleiben
nur die

y α

mit

y = 1, 2, 3, 4

.

P.S.: habe nochmal korrigiert!

Berenike aktiv_icon

09:16 Uhr, 29.06.2020

Guten Morgen Ermanus!

Also, nach deinem Tipp erhalte ich:

(x + y α)^{2} = y^{2} α^{2}

mit

x = 0

und

α^{2} = 2 .

Also gilt:

y = 2

oder

y = 3

. Wie hilft dies nun für die Automorphismenbestimmung?

Berenike aktiv_icon

09:16 Uhr, 29.06.2020

Guten Morgen Ermanus!

Also, nach deinem Tipp erhalte ich:

(x + y α)^{2} = y^{2} α^{2}

mit

x = 0

und

α^{2} = 2 .

Also gilt:

y = 2

oder

y = 3

. Wie hilft dies nun für die Automorphismenbestimmung?

ermanus aktiv_icon

09:49 Uhr, 29.06.2020

Hallo,

nun hast du mit

y = 2

oder

y = 3 = - 2

(X^{2} + 3) (X^{2} + 2) = (X + α) (X - α) (X + 2 α) (X - 2 α)

.
Über dem Körper

F_{5} (α)

zerfällt das Polynom also bereits in Linearfaktoren,
d.h. die Galoisgruppe besteht nur aus 2 Elementen, da der Zerfällungskörper
den Grad 2 hat.

Gruß ermanus

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