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Gammafunktion

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Tags: Funktion, Gamma-Funktion

JonSnow98 aktiv_icon

11:02 Uhr, 30.08.2023

Hallo zusammen,
ich arbeite aktuell ein Paper durch und muss folgende Gleichung zeigen:

\int_{0}^{\infty} \exp (- ξ t) (1 - \exp (- b^{n} t))^{z} d t = ξ^{- 1} Γ (1 + ξ b^{- n}) Γ (z + 1) / Γ (z + 1 + b^{- n} ξ) .

Hat jemand eine Idee wie man auf diese Gleichung kommt?
Danke für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

12:25 Uhr, 30.08.2023

Spontan würde ich

u = \exp (- b^{n} t)

substituieren:

Dann ist

d u = - b^{n} u d t

und außerdem

\exp (- ξ t) = \exp (- b^{n} t \cdot ξ b^{- n}) = u^{ξ b^{- n}}

, es folgt

\int_{0}^{\infty} \exp (- ξ t) {(1 - \exp (- b^{n} t))}^{z} d t = b^{- n} \int_{0}^{1} u^{ξ b^{- n} - 1} {(1 - u)}^{z} d u \overset{!}{=} b^{- n} B (ξ b^{- n}, z + 1)

mit der Eulerschen Betafunktion

B

, was man letztlich dann auch mit Gammafunktion ausdrücken kann via

b^{- n} \frac{Γ (ξ b^{- n}) Γ (z + 1)}{Γ (ξ b^{- n} + z + 1)}

.

Mit einem abschließenden

Γ (ξ b^{- n} + 1) = ξ b^{- n} Γ (ξ b^{- n})

ist dann das Ziel erreicht.

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