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Ganze, komplexe Zahlen ein Unterring

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ideal, invertierbare Elemente, Ring, Unterring

jamang aktiv_icon

12:12 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

um folgende Aufgabe handelt es sich:

Zeigen Sie, dass die Menge aller komplexen Zahlen

ℤ [\sqrt{- 1}] := {a + b \sqrt{- 1} : a, b, \in ℤ}

ein Unterring von

(ℂ, +, \cdot)

ist.

Finden Sie alle invertierbaren Elemente

x \in [ℤ \sqrt{- 1}]

, d.h. Elemente, sodass ein Element

y \in [ℤ \sqrt{- 1}]

existiert mit

x \cdot y = y \cdot x = 1

.

---
Meine Ansätze:
(I)
Ich soll erstmal zeigen, dass

[ℤ \sqrt{- 1}]

ein Unterring ist.

a) Dafür muss ich zunächst zeigen, dass die additive Gruppe von

[ℤ \sqrt{- 1}]

eine Untergruppe der abelschen Gruppe von

(ℂ, +, \cdot)

ist.
-Das heißt, sie muss das neutrale Element 0 enthalten und für alle

a, b \in [ℤ \sqrt{- 1}]

muss gelten:

a - b \in [ℤ \sqrt{- 1}]

?

UND
b) z.Z. auch, dass das multiplikative Monoid von

[ℤ \sqrt{- 1}]

ein Untermonoid von

(ℂ, +, \cdot)

ist.
-D.h. ich muss zeigen, dass die Multiplikation im Untermonoid abgeschlossen ist,

a, b \in [ℤ \sqrt{- 1}]

impliziert

a \cdot b \in [ℤ \sqrt{- 1}]

und das Untermonoid die 1 enthält?

-
Habe ich das soweit erstmal richtig verstanden?

(II)
Zu den invertierbaren Elementen. Wenn ich richtig recherchiert habe, muss ein Ring/Unterring keine invertierbaren Elemente haben. Sind alle Elemente der Monoids invertierbar wäre es sogar ein Körper.

Hier kenne ich nicht mal den nicht-mathematischen Ansatz.

-
Kann und möchte mir jemand helfen das alles auf "Mathematisch" zu übersetzen und zu beweisen?
Suche bitte keine komplette Lösung, nur Unterstützung bis ich es selbst hab!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:43 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

um zu beweisen, dass eine Struktur die Unterstruktur einer anderen ist, muss man "nur" die Abgeschlossenheit gegenüber den Strukturoperationen beweisen.

Bei Ringen ist das:
* Abgeschlossenheit gegenüber 0, d.h. die 0 muss in

ℤ [i]

sein
* Abgeschlossenheit gegenüber Addition
* Abgeschlossenheit gegenüber (additiver) Inversenbildung
(Die letzten beiden Punkte können zusammengefasst werden zu: Abgeschlossenheit gegenüber Addition mit additivem Inversen)
* Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation

Wenn beide Ringe als unitär (also als Ringe mit 1) betrachtet werden soll, dann musst du natprlich auch beweisen, dass die 1 im Unterring liegt.

Soweit hast du das wohl richtig erkannt.

Bei der Frage, welche Elemente (multiplikative) Inverse haben, kannst (oder besser: muust) du die Tatsache verwenden, dass

ℤ [i]

Unterring von

ℂ

ist. Das bedeutet: Wenn ein Element ein (multiplikatives) Inverses in

ℤ [i]

hat, so stimmt dies mit seinem (multiplikativen) Inversen in

ℂ

überein.

Sicher ist dir klar, wie man das (multiplikative) Inverse von

a + i b \in ℂ

berechnet, oder? (Stichwort komplexe Zahlen)
Dann musst du doch nur untersuchen, unter welchen Umständen das Inverse von

a + i b \in ℤ [i]

selbst wieder ein Element von

ℤ [i]

ist!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

13:20 Uhr, 03.12.2012

Hallo Michael,
ok, soweit bin ich jetzt schonmal:

1.) Abgeschl. geg. 0, d.h.

0 \in ℤ [i]

:
Für

a = 0 \in ℤ

und

b = 0 \in ℤ

ist

(a + b \sqrt{- 1}) = 0 + 0 \sqrt{- 1} = 0

\Rightarrow 0 \in ℤ [i]

2.) Abgeschl. geg. Add. m. add. Inv.:
z.z.:

x, y \in ℤ [i] \Rightarrow x - y \in ℤ [i]

Sei

x, y \in ℤ [i]

, und sei

x = (a, b), y = (a ʹ, b ʹ)

, wobei

a, a ʹ, b, b ʹ \in ℤ

dann gilt:

(a, b) - (a ʹ, b ʹ) = (a - a ʹ, b - b ʹ) \in ℤ [i]

, da

a - a ʹ

und

b - b ʹ \in ℤ

.

...
Darf ich weitermachen oder ist das Quark?

(Danke und Gruß)

michaL aktiv_icon

13:52 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

bis dahin alles sehr trivial und ok.

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.12.2012

..weiter:

3. Abgeschl. gegen. Multiplik:
(z.z.

x, y \in ℤ [i] \Rightarrow x \cdot y \in ℤ [i]) .

Sei

x, y \in ℤ [i]

und seien

x = (a, b), y = (a ʹ, b ʹ)

, dann gilt:

(a, b) \cdot (a ʹ, b ʹ) = (a a ʹ - b b ʹ, a b ʹ + a ʹ b) \in ℤ [i]

, da

a a ʹ, b b ʹ, a b ʹ, a ʹ b \in ℤ

(Wenn das stimmt, frage ich mich aber, wieso man einfach annehmen darf, dass z.b.

a a ʹ \in ℤ

ist, oder ist das so trivial, dass keiner erwartet, dass man das zeigt?

4. Einselement enthalten:
Für

a = 1 \in ℤ

und

b = 0 \in ℤ

folgt:

a + b \sqrt{- 1} = 1 + 0 \sqrt{- 1} = 1 \Rightarrow 1 \in ℤ [i]

Alles korrekt?

-
Zu den Inversen. Ja, ich weiß, dass das Reziproke (Inverse) von

a + i b

lautet

\frac{1}{a + i b}

bzw.

\frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}} .

Und in

ℤ [i]

müsste es die gleiche Form haben, wobei a,b ganzzahlig sein müssen.

"Dann musst du doch nur untersuchen, unter welchen Umständen das Inverse von a+ib∈ℤ[i] selbst wieder ein Element von ℤ[i] ist!"

Hier schaue ich noch nicht durch. Ich weiß, was du meinst, aber nicht wie ich das sehen könnte.
Auf den ersten Blick denke ich, es kann keine Inverse geben, weil

\frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}

ein Bruch ist und Brüche in

ℤ

nicht existieren. Aber so leicht ist das nicht, weil sowohl Zähler, als auch Nenner jeweils theoretisch in

ℤ

liegen. a, b sind ja ganz.

michaL aktiv_icon

18:24 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

> (Wenn das stimmt, frage ich mich aber, wieso man einfach annehmen darf, dass z.b. aaʹ∈ℤ ist, oder ist
> das so trivial, dass keiner erwartet, dass man das zeigt?

Ja, mehr muss man nicht (unbedingt) dazu schreiben. Man könnte:

(ℤ, +, 0, -, \cdot, 1)

ist ein (unitärer) Ring, d.h. gegen Multiplikation, Summen- und Differenzenbildung abgeschlossen.

Zu den Reziproken:
Genau darum geht es:

a, b, \frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{b}{a^{2} + b^{2}} \overset{!}{\in} ℤ

muss gelten!
Da gibt es nicht so viele

a

bzw.

b

, für die das gilt. Hast du eine Vermutung? (Will nichts vorweg nehmen!)

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

18:58 Uhr, 03.12.2012

Ok, mein Kumpel und ich skypen gerade und sind der Meinung für
a=1 und b=0 wäre

\frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}

ganz

oder für
a=0 und b=1...

Aber das haben wir nur so gesehen, nicht gerechnet. Gibt's noch mehr?

Edit: Hatte mich verschrieben! Vorschlag wie oben.

michaL aktiv_icon

19:05 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

also, für

a = b = 0

gibt es sicher kein(!) Inverses.

a = 1

b = 0

(also für

z = 1

) gibt es ein Inverses. Das sind aber doch sicher noch nicht alle, oder?

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

19:46 Uhr, 03.12.2012

Gibt es noch mehr als
a=0, b=1
a=1, b=0 ?

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

ja.

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

20:39 Uhr, 03.12.2012

Schade, seh's nicht...

michaL aktiv_icon

20:45 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

nun, die beiden anderen Lösungen zu finden ist auch nicht ausreichend. Du müsstest ja beweisen, warum alle anderen Paare keine sind!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

21:06 Uhr, 03.12.2012

Werde da deine Hilfe brauchen, bitte.

Weder sehe ich die anderen beiden, noch sehe ich wie man sie errechnen könnte. Noch wüsste ich, wie ich beweise, dass es der Rest nicht sein kannn.

michaL aktiv_icon

21:19 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

wenn man auf

a = 1

b = 0

kommt, dann liegt doch eine Variation davon nahe, oder?
Ebenso eine Variation von

a = 0

b = 1

.
Das ist nicht so schwer. Wenigstens die musst du packen!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

21:47 Uhr, 03.12.2012

Bin noch am Nachdenken...

Wäre

b = \sqrt{- 1}

und a=0... käme 1 heraus... aber die Wurzel ist nicht Element der ganzen Zahlen...

jamang aktiv_icon

21:50 Uhr, 03.12.2012

Moment MINUS EINS!

jamang aktiv_icon

21:55 Uhr, 03.12.2012

a=-1, b=0
b=-1, a=0

michaL aktiv_icon

22:12 Uhr, 03.12.2012

Hallo,

na, Halleluja!

So, mehr gibt's nicht. Aber wie das beweisen?
Nun, damit

\frac{a}{a^{2} + b^{2}}

eine ganze Zahl ist, müssen alle Primteiler von

a^{2} + b^{2}

auch Primteiler von

a

sein. Was folgt daraus, wenn man weiß, dass

p ∣ a

und

p ∣ a^{2} + b^{2}

gilt?

Dann denke über die Potenz nach, in der Primteiler auftreten.
(Möchte gern vage bleiben, damit du selbst entdecken kannst)

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

22:42 Uhr, 03.12.2012

Du musst verrückt sein, was du alles von mir erwartest, um diese Uhrzeit noch! :-)

Morgen muss ich das Zeug abgeben, es wird wohl eine lange Nacht...

Ich will aber nicht aufgeben, also hier meine Gedanken:

Primteiler, das Wort kennt Wiki nicht, aber ich habe mir erschlossen, dass es eine Primzahl sein soll, die eine ganze Zahl teilt, wie in der Primfaktorzerlegung.

Erstmal musste ich deine Aussage verstehen: Alle Primteiler von

a^{2} + b^{2}

müssen auch Primteiler von

a

sein.
In anderen Worten: Sie müssen identisch sein, oder? So dass sie sich immer zur (-)Eins kürzen...

Was folgt daraus, dass

p ∣ a

und

p ∣ a^{2} + b^{2}

?
Hm, dass

p ∣ a \cdot (a^{2} + b^{2})

... aber was hilft mir das.

Irgendwas ruft nach mir, die Erleuchtung, mein Bett? Aber ich blicke nicht ganz durch, sonst könnte ich es dir auch erklären....
Vielleicht willst du auf sowas hinaus, wie dass

p

nicht in der gleichen Potenz auftauchen kann für beide Terme oder so...

jamang aktiv_icon

22:44 Uhr, 03.12.2012

Murks, a kann auch mehr Primteiler haben. Als nix identisch.
Wenn du im Bett bist, dann gute Nacht nachträglich und Danke.

jamang aktiv_icon

01:10 Uhr, 04.12.2012

Denke ich hab die Frage gut genug beantworten können. Jetzt aber ins Bett.

michaL aktiv_icon

07:18 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

ja, war schon im Bett. Muss ja schließlich morgens wieder früh 'raus und bin nicht mehr der Jüngste...

Statt über die Primteiler zu argumentieren (

\frac{a}{a^{2} + b^{2}}

muss ganz sein, d.h.

a

[und deshalb auch

a^{2}

] und

a^{2} + b^{2}

müssen durch die gleichen Primzahlen teilbar sein, woraus folgt, dass auch

b^{2}

und damit auch

b

durch diese Primzahl teilbar sein müssen. Usw), kann man einfacher über den Betrag der beiden Zahlen arbeiten:

∣ a ∣ < a^{2} \leq a^{2} + b^{2}

, d.h.

∣ \frac{a}{a^{2} + b^{2}} ∣ < 1

, sofern

a \neq 0

. Im Falle

a = 0

muss man eben über

b

argumentieren, was dann sicher ungleich Null ist (sonst handelt es sich um die Null!).

Mfg Michael

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