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Ganzrationale Funktion 4.Grades (Punkt + Steigung)

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Abitur, Analysis, Differentialrechnung, MATH, Steckbriefaufgaben

00Student00 aktiv_icon

19:27 Uhr, 13.08.2014

Hey

nun habe ich eine Aufgabe, bei welcher ich eine ganzrationale Funktions mittels einem Punkt und einer Steigung berechnen soll. Hilfe :-)

Aufgabe: Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades

f

ist symmetrisch zur y-Achse und hat im Punkt

P (2 | 0)

eine Wendetangente mit der Steigung

m = - 8

. Bestimme die ganzrationale Funktion

f

auf die geübte Weise. Auf eine Probe darf verzichtet werden.

Ableitungen:

f (x) =

ax^4

+

bx^3

+

cx^2

+ d x + e

f' (x) =

4ax^3

+

3bx^2

+

2cx

+ d

f'' (x) =

12ax^2

+

6bx

+ 2 c

5 Variablen

= 5

Bedinungen

= 5

Gleichungen

Bedinungen:

f (2) = 0

f' (2) = - 8 \Rightarrow

Tangentensteigung

= - 8

f'' (2) = 0 \Rightarrow

Wendepunkt

Da diese Funktion Achsensymmetrisch ist können nur gerade Exponenten vorhaben sein glaube ich.

Also wäre die Form so:

g (x)

ax^4

+

cx^2

+ e

hier würde man doch nurnoch 3 Bedinungen und 3 Gleichungen benötigen oder?
Das ist alles was ich weiß :-)

Liebe Grüße
Serienjunkie96

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

19:32 Uhr, 13.08.2014

Wollen wir heute wieder mal nach langer Zeit zusammen rechnen?
So manche Sprüche kommen mir bekannt vor *schmunzel*.

Ich gucke gleich mal genauer drauf, mein erster Eindruck ist positiv!

supporter aktiv_icon

19:33 Uhr, 13.08.2014

"Also wäre die Form so:

g (x) = a x^{4} + c x^{2} + e

"

Genauso ist es.

@Ma-Ma:

Dein Patient ! :-))Bin wieder raus.

Ma-Ma aktiv_icon

19:41 Uhr, 13.08.2014

@suporter: Danke für Dein Verständnis, den Serienjunkie werde ich mal kräftig verarzten

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Passt alles. Supporter hat es auch bestätigt. Dankeschön.

Nun noch die Bedingungen strukturieren, damit wir den entstehenden Gleichungen Namen geben können:

Die Zusatzhinweise kannst Du natürlich dranlassen! Dann sieht Dein Lehrer, dass Du Dir Gedanken gemacht hast, warum diese Bedingung gilt.

Bedingungen:

I)

f (2) = 0

II)

f' (2) = - 8

III)

f'' (2) = 0

Ich würde jetzt evtl. vereinfachen auf

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

supporter aktiv_icon

19:49 Uhr, 13.08.2014

"den Serienjunkie werde ich mal kräftig verarzten "

Viel Spaß bei dem Süchtling. Suchtbekämpfung ist nicht ohne. Aber ich bin überzeugt, du hast das richtige Rezept. :-))

00Student00 aktiv_icon

19:55 Uhr, 13.08.2014

Ja hört sich gut an :-)

- - - - - - -

f (2) = 0

II)

f' (2) = - 8

III)

f'' (2) = 0

a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c = 0

16 a + 4 b + c = 0

II)

4 \cdot a \cdot 2^{3} + 2 \cdot b \cdot 2 = - 8

32 a + 4 b = - 8

III)

12 \cdot a \cdot 2^{2} + 2 b = 0

48 a + 2 b = 0

- - - - -

so das wären die Gleichungen ;-)

Ma-Ma aktiv_icon

20:00 Uhr, 13.08.2014

Alles okay.

Anfangen mit den Gleichungen II) und III).

Ich gehe jetzt mal Abendbrot essen und hole mir nachher vom Serienjunkie die Komplettlösung ab

. .

.

(Zum Vergleich

c = 10)

@supporter: serienjunkie kann diese Aufgabe super selber lösen, habe ihn in den letzten Tagen kräftig gepusht

. .

. nun will ich mich von seiner Lösung überraschen lassen

. .

.

Bis nachher

. .

. LG Ma-Ma

00Student00 aktiv_icon

20:16 Uhr, 13.08.2014

okay dann versuch ich mal mein Glück :-)

- - - - -

Zuerst dividiere ich die II) Gleichung damit ich

b

eliminieren kann:

32 a + 4 b = - 8 | : 2

16 a + 2 b = - 4

III) - II)

48 a + 2 b = 0

16 a + 2 b = - 4

\Rightarrow 32 a = 4 | : 32

a = \frac{1}{8}

Dann setze ich

a = \frac{1}{8}

in die III) Gleichung ein um die Variable

b

zu bestimmen:

III)

48 a + 2 b = 0

48 \cdot \frac{1}{8} + 2 b = 0

6 + 2 b = 0 | - 6

2 b = - 6 | : 2

b = - 3

Somit hätten wir

a = \frac{1}{8}

und

b = - 3

nun bestimme ich die letzte Variable indem ich a und

b

in die I) Gleichung einsetze:

16 a + 4 b + c = 0

16 \cdot \frac{1}{8} + (4 \cdot (- 3)) + c = 0

2 - 12 + c = 0

- 10 + c = 0 | + 10

c = 10

somit hätten wir alle Variablen bestimmt. Die neue Funktion lautet:

g (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 10

- - -

also hoffe ich :-)

Ma-Ma aktiv_icon

20:25 Uhr, 13.08.2014

Hab ich auch raus.

Die Probe, ob der Punkt

P (2 | 0)

auf diesem Graphen liegt, kannst Du für Dich ja auch noch machen.

- - - - - -

So macht es Spass hier, der Fragesteller liefert die Lösung selber

. .

. weil er es inzwischen kann

. .

.

@serienjunkie: Hast Du wirklich toll gemacht. Großes Lob an Dich!

LG Ma-Ma

00Student00 aktiv_icon

20:30 Uhr, 13.08.2014

Perfekt :-) Dankeschön.

Probe:

g (2) = 0 \Rightarrow \frac{1}{8} \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{2} + 10

g (2) = 2 - 12 + 10 = 0

Punkt

P (2 | 0)

beweist, dass meine errechnete Funktion stimmt :-)

- - - -

Stolz :-) Vielen Dank für deine Hilfe

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