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Ganzrationale Funktion
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Funktionentheorie
 
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anonymous 15:41 Uhr, 10.03.2007  |
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Also ich schreib erst mal die Aufgabenstellung hin^^: Bestimmen sie die Gleichung der Quadratischen Funktion g, deren Graph die gleichen Achsenschnittpunkte wie f besitzt. Die Punkte sind A(-3/0) B(0/-1.5) C(3/0) Wenn hilft die funktion f lautet f(x)= 1/6x^4-4/3x^2-3/2 Vielen Dank im Vorraus!!!!!! DAnke Danke Danke |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) | |
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A(-3/0) B(0/-1.5) C(3/0) Also ich würde hier Detektiv spielen^^ Was siehst du? Ich sehe zwei Schnitte mit der x-Achse und einen mit der y-Achse Die Schnitte mit der X-Achse (Punkt A und B) sind Achsensymetrisch (-3 und 3)! Daher vermute ich das die Funktion auch Achsensymetrisch ist! Sie hat also kein therm mit einem negativen Exponent (kein x^5, kein x^3, kein x^1)! Ich gehe von der einfachsten Form aus! f(x) = ax^2 + b Punkt A und C: f(3) = 0 9a + b = 0 Punkt B: f(0) = -1,5 b = -1,5 Einsetzen 9a + b = 0 9a - 1,5 = 0 |+1,5 9a = 1,5 |:9 a = 1/6 f(x) = 1/6x^2 - 1,5 Diese Lösung ist die Einfachste! Es gibt aber noch mehr Lösungen: f(x) = ax^4 + bx^2 + c Punkt A und C: f(3) = 0 81a + 9b + c = 0 Punkt B: f(0) = -1,5 c = -1,5 Einsetzen: 81a + 9b -1,5 = 0 |+1,5 81a + 9b = 1,5 9a + b = 1/6 Da gibt es unendlich Lösungen f(x) = (1/54)x^4-1,5 ist z.B: auch eine Lösung |
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@Berry g soll eine quadratische Funktion sein, nix hoch 4, nix hoch 3, sondern y=ax²+bx+c. Hätte man Hoch-4 gewollt, würde man g=f nehmen... -Steele- |
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anonymous 19:07 Uhr, 10.03.2007 |
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Hallo, quadratische Funktion mit y-Achs-symmetrischen Nullstellen und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bekannt! Was soll der Schnittpunkt mit der y-Achse anderes sein als der Scheitelpunkt? Also: f(x) = a*(x-0)^2 - 1,5 = a*x^2 - 1,5 f(3) = 0 = a*3^2 - 1,5 = 9*a - 1,5 --> a = 1,5/9 = 1/6 f(x) = 1/6*x^2 - 1,5 |
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Warum bei symmetrischer Nullstellenverteilung (d.h.: x1 = -x2 ) nur eine y-achsensym.Parabel (d.h.: Bei y= ax²+bx+c ist b=0) herauskommen kann, ist den meisten geläufig, bedarf aber eines formalen Beweises... ; Daher... Beweis: Liegen 2 Nullstellen x1 und x2 vor, so gilt grundsätzlich: y= r*(x- x1)(x- x2), woraus r=a und mit x1 = -x2 folgt: y= a(x- x1)(x+ x1)= a(x² -x1²). - Ausmult. (3-te binom.Formel grüsst) und Koeff.Vergleich zeigt sofort: b=0. (qed.) Wenn y(0)=: y0 €R zudem vorgegeben ist, dann ist c=y0 und (s.o.) = a*x1*x2. D.h.: a= x1*x2/y0 , natürlich, sofern y0 !=0. Der triviale Fall y0 =0 führt unweigerlich zu a=b=c=0 ,d.h. zum Nullpolynom y=0 (als Polynom niedrigsten Grades!...wohlbemerkt!). Dieser theoretische Exkurs führt im obigen Fall sofort zu a= 1/6 ; b=0 ; c= -3/2. ´Berry´ braucht also nicht mehr vermuten und ´x´ nicht mehr mutmassen... -Steele- (Danke fürs Zuhören) |
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anonymous 23:48 Uhr, 11.03.2007 |
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Hallo steele, da ist nichts (gar nichts !!!) gemutmaßt! Zu jeder quadratischen Funktion existiert die Scheitelpunktdarstellung eindeutig! Wenn gleiche Funktionswerte herauskommen für x_1 und x_2 (hier speziell -3 und 3), dann muß (x_1-x_0)^2 gleich (x_2-x_0)^2 (hier (-3-x_0)^2 gleich (3-x_0)^2) sein. Nun sind x_1 und x_2 ungleich, d.h. es gilt: x_1-x_0 = -(x_2-x_0) (hier -3-x_0 = -(3-x_0)) x_1-x_0 = -x_2+x_0 (hier -3-x_0 = -3+x_0) x_1+x_2 = 2*x_0 (hier -x_0 = x_0) x_0 = 1/2*(x_1+x_2) (hier x_0 = 0) Im Allgemeinen ist damit bewiesen, daß der Scheitelpunkt genau zwischen den beiden gegebenen Stellen mit gleichen Werten liegt. Hat man den Funktionswert an dieser Stelle gegeben, dann kennt man den Scheitelpunkt! Keine Mutmaßungen notwendig!!! Ich bin hier verfahren nach dem Motto: Es darf alles benutzt werden, was im Unterricht bewiesen wurde bzw. als bewiesen gelehrt wurde. Gibt es damit bei dem Fragesteller ein Problem, daß das eben von mir angeführte nicht bekannt ist, wird er sich melden und er bekommt den dann notwendigen Beweis nachgeliefert. Keine Rückfrage von "Birne", kein Beweis! So einfach ist das! Überflüssiger Kommentar von steele, den er in seiner Eigenschaft als Moderator sicher entfernen wird! |
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