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Ganzrationale Funktionen

Schüler Gymnasium,

Tags: ganrationale funktionen Verhalten für x -> + - unendlich und nahe 0

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17:19 Uhr, 10.01.2012

Hallo. Ich habe ein Problem in Sache *Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen - Verhalten für

x \to + -

unendlich bzw Verhalten für

x

nahe

0 \cdot

Im Buch lautet zum Beispiel eine Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion

f

. Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von

f

für

x \to + -

unendlich und

x

nahe Null.

a) f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{5} - x^{2}

b) f (x) = 1 - 2 x + x^{6} + x^{3}

c) f (x) = 3 x - 0,00 x^{7} + x^{6} + 2

Da dies Übungsaufgaben sind, sind im Buch die Lösungen angegeben, aber ich weiß nicht, wie man darauf kommt.

a) f (x) = - 4 x^{5} + 3 x^{3} - x^{2}

Für

x \to +

unendlich verläuft der Graph wie

g (x) = - 4 x^{5},

also gegen - unendlich
Für

x \to -

unendlich verläuft der Graph wie

g (x) = - 4 x^{5},

also gegen

+

unendlich
Für

x

nahe 0 verläuft der Graph wie

h (x) = - x^{2},

also eine nach unten geöffnete Normalparabel

Die Lösung jetzt mal als Beispiel. Was ist mit dem gegen - unendlich bzw

+

unendlich gemeint? Verstehe das nicht so richtig.
Bei der Lösung der Aufgabe

c)

steht:

c) f (x) = - 0,01 x^{7} + x^{6} + 3 x + 2

Für

x

nahe 0 verläuft der Graph wie

h (x) = 3 x,

also einer Geraden mit der Steigung

m = 3

durch den Ursprung

Gehört die

+ 2

nicht bei der Lösung dazu? Dass der Graph bei der y-Achse bei 2 ist? Wieso wird sie nicht dazugenommen?

Bitte helft mir :-)

Bummerang

09:53 Uhr, 11.01.2012

Hallo,

die Aufgabenstellung lautete: "Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von

f

für

x \to + -

unendlich und

x

nahe Null."

Was damit gemeint ist, geht aus den vorhergehenden Festlegungen und Beispielen hervor. Da die Funktionen nicht nur nahe Null definiert sind, sondern auch für

x = 0,

könnte man ohne umständliche Betrachtungen einfach den Funktionswert ausrechnen. Also gehe ich (auch nach Deiner Lösung) davon aus, dass ich euch bei dem Begriff "Verhalten nahe 0" auf den Anstieg festgelegt/geeinigt habt. Und das bedeutet: Ob eine Funktion weiter oben liegt (Verschiebung in positiver y-Richtung durch ein Absolutglied) oder weiter unten (entweder kein Absolutglied oder verschiebung in negativer y-Richtung durch negatives Absolutglied), das ändert nichts an dem Anstieg nahe

x = 0

. Also wird bei dieser speziellen Betrachtung nur der Summand mit dem kleinsten Exponenten betrachtet. In Deinem letzten Beispiel ist das

3 \cdot x,

im ersten Beispiel wäre dies

- x^{2}

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