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Ganzrationale Funktionen und Extrempunkte
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 20:18 Uhr, 05.02.2006  |
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Hallo Leute, ich habe folgende Frage: Erstmal muss ich folgendes beweisen: Größtmögliche Anzal der Extremstellen einer ganzrationalen Funktion: Begründe, dass eine ganzrationale Funktion f mit f(x)= an x^n-1+an-1x^n-1+...+a2x^2+a^x+a0 höchstens n-1 Extrempunkte haben kann. Meine zweite Frage wäre: Wie kriegt man folgendes raus: Gegeben sind die Punkte P(-1|3) und Q(2|5). Der Graph einer ganzrationalen Funktion f hat den Punkt P als Hochpunkt und den Punkt Q als Tiefpunkt. Wie viele Extrempunkte muss die Funktion f mindestens haben? Begründe. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen? Danke schonmal im vorraus. |
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Hallo, ich gehe davon aus, daß die Funktion: f(x)= an x^n-1+an-1x^n-1+...+a2x^2+a^x+a0 ein paar Schreibfehler hat und folgendes gemeint ist. f(x)= an x^n+an-1x^n-1+...+a2x^2+a1x+a0 Wenn man sich um den Formeleditor drückt, bevorzuge ich die auch von anderen an dieser Stelle benutzte Notation, die einen klarer erkennen läßt, was Faktor und was Index ist: f(x)= a_n*x^n+a_(n-1)*x^n-1+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0 1. Frage: Größtmögliche Anzahl der Extremstellen einer ganzrationalen Funktion Für jede Extremstelle gilt, daß es eine parallele zur x-Achse (eine Gerade mit dem Anstieg m=0 !) gibt, die die Funktion im Extrempunkt berührt, d.h. daß der Anstieg in diesem Punkt gleich Null ist. Der Anstieg ist aber gleichzeitig dem Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle, also muß die erste Ableitung an dieser Stelle gleich Null sein. Damit ist x eines jeden Extrempunktes eine Nullstelle der ersten Ableitung. Die erste Ableitung ist jedoch eine ganzrationale Funktion (n-1)-ten Grades, die maximal (n-1) Nullstellen hat. Deshalb kann eine ganzrationale Funktion n-ten Grades maximal (n-1) Extremstellen haben. 2. Frage: Wie viele Extrempunkte muss die Funktion f mindestens haben? Wenn P(-1|3) ein Hochpunkt (lokales Maximum) ist und Q(2|5) ein Tiefpunkt (lokales Minimum), dann muß die Funktion mindestens 4 Extrempunkte haben. Begründung: Eine ganzrationale Funktion ist stetig und sogar stetig differenzierbar, d.h. auch die erste Ableitung ist stetig. Damit gibt es im Graphen der Funktion weder eine Lücke noch eine Polstelle noch einen Sprung noch einen "Knick" (=sprunghafter Wechsel des Anstiegs). Wenn also P ein Hochpunkt ist, so muß von P in positiver Richtung der Graph "nach unten" gehen. Da der Ausgangs-y-Wert gleich 3 ist, werden die Werte in dieser Richtung zunächst kleiner als 3. Würde die Funktion keinen Tiefpunkt als nächstes haben, bei dem die y-Werte wieder größer werden, könnte der Graph niemals den Punkt Q mit y-Wert 5 erreichen ohne Sprung, Polstelle oder Knick, aber die hat die Funktion ja nicht. Analog zeigt man, daß der Graph der Funktion vom Tiefpunkt Q in negativer Richtung einen Hochpunkt erreichen muß, da ansonsten vom Ausgangs-y-Wert 5 niemals der Punkt P mit y-Wert 3 erreicht wird. Man findet also von P ausgehend in Richtung Q (mit Ziel Q) zunächst einen Hochpunkt mit dem y-Wert 3, dann einen Tiefpunkt mit einem y-Wert <3 und dann weiß man eigentlich nichts mehr so genau, außer daß man einen Hochpunkt mit einem y-Wert >5 erreicht um schlußendlich am Punkt Q einen Tiefpunkt mit y-Wert 5 zu erreichen. |
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