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Ganzzahlige Lösungen mit Polynomdivision bestimmen

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Polynome

Tags: polynom

 
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donfered

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13:09 Uhr, 07.10.2013

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Hi Leute,
Ich behandle gerade das Thema kubische Funktionen. Ich habe hier folgende Aufgabe die ich nicht lösen kann da ich das Thema nicht komplett verstehe. Die Aufgabe lautet

Bestimmen sie die ganzzahligen Lösungen für folgende Gleichungen:

a)x4-x3-7x2+x+6=0

Hier kommt mein Lösungsansatz:
Zuerst muss ich eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden. Das wäre 1. Danach muss ich die Polynomdivision anwenden und durch (x+1) teilen (weil +1 die nullstelle ist?)als ergebniss bekomme ich x3-x2-5x+4; Rest 2 heraus. Und diese Zahlen setze ich nun in die Mitternachts formel oder PQ-Formel ein wenn ich das richtig verstanden habe.

Wie gesagt ich kenne mich mit diesem Thema leider nicht aus und würde es gerne verstehen. Vielleicht möchte mir ja jemand helfen und erklären was ich bei dieser Aufgabe genau machen muss.
Vielen Dank im voraus liebe OnlineMathe-Community
Donfered

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pivot

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13:32 Uhr, 07.10.2013

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Hallo,

wenn x=1 eine Nullstelle ist, dann musst die die Polynomdivision mit dem Divisor(x-1) durchführen.

Wobei auch x=-1 eine Nullstelle ist. Dann ist der Divisor (x-(-1))=(x+1). Es sollte somit kein Rest übrig bleiben.

Grüße,

Pivot.
Antwort
Bummerang

Bummerang

13:33 Uhr, 07.10.2013

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Hallo,

"Hier kommt mein Lösungsansatz:
Zuerst muss ich eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden. Das wäre 1. Danach muss ich die Polynomdivision anwenden ..."

Absolut korrekt!

"... und durch (x+1) teilen (weil +1 die nullstelle ist?) ..."

Falsch! Durch (x-1) teilen, weil +1 die Nullstelle ist!!!

"... als ergebniss bekomme ich x3-x2-5x+4; Rest 2 heraus."

Kann wegen des falschen Divisor nur falsch sein! Es sollte aber spätestens dann auffallen, dass da etwas nicht stimmt, wenn ein Rest anfällt!

"... Und diese Zahlen setze ich nun in die Mitternachts formel oder PQ-Formel ein wenn ich das richtig verstanden habe."

Beide angesprochenen Formeln taugen nur für quadratische Terme, Du hast aber, selbst nach der korrekten Disivison, einen kubischen Term! also noch einmal raten und dividieren!

PS: Durch den Parallelpost kennst Du nunmehr zwei ganzzahlige Nullstellen und kannst es Dir etwas bequemer machen, indem Du das Produkt der beiden Terme (x-1) und (x+1) als Divisor hernimmst und somit einen quadratischen Quotienten bei der Division erhältst. Mit dem kannst Du dann Deien Formeln anwenden.

PPS: Wenn Du Deine Ausgangsgleichung etwas umformst, sparst Du Dir die Division:

x4-x3-7x2+x+6=0

x4-x3-6x2-x2+x+6=0

x2(x2-x-6)-(x2-x-6)=0

(x2-1)(x2-x-6)=0

Der erste Faktor steht für Deine beiden bisher bekannt Nullstellen, der zweite hat so offensichtlich die Nullstelle 3 (was den Faktor (-3) ergibt), dass sich die letzte Nullstelle allein durch den Faktor -6-3=2 als -2 ergibt!
donfered

donfered aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.10.2013

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Ziehe ich also immer die Nullstelle von X ab und nehme das dann als Divisor für die Gleichung? Wenn ich zum Beispiel die Nullstelle -2 finde, teile ich dann die gesamte Gleichung durch x-(-2)? Vielen Dank übrigens für die schnellen und akkuraten Antworten!
Donfered

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pivot

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13:55 Uhr, 07.10.2013

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Genau richtig. Ist die Nullstelle x=-2, dann ist der Divisor (x+2).
Frage beantwortet
donfered

donfered aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.10.2013

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Vielen Dank an euch beide für die grossartige Hilfe *Daumen-hoch*
Donfered