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Gateaux & Frechet

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Abbildung, Analysis, Banachraum, Frechet differenzierbar, Funktionalanalysis, Gateaux, unstetig

anonymous

21:21 Uhr, 04.06.2021

Hallo!

Ich bräuchte einen Ansatz oder Idee zum Vorgehen für die folgende Aufgabe:

X und Y Banachräume über

ℝ

.
Sei

φ

: X →

ℝ

eine unstetige lineare Abbildung.
Zeigen Sie, dass die Funktion

f (x) := ∥ x ∥ φ (x)

im Punkt

x = 0

Gateaux differenzierbar ist,
aber nicht Frechet differenzierbar.

Freue mich über jede Hilfe :-))
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:59 Uhr, 04.06.2021

Gateaux-Ableitung kann man direkt berechnen:

Wir haben

f (t h) - f (0) = φ (t h) ∥ t h ∥ - φ (0) ∥ 0 ∥ = t \cdot ∣ t ∣ \cdot φ (h) ∥ h ∥

.

Daher

∣ \frac{f (t h) - f (0)}{t} - 0 ∣ = ∣ t ∣ \cdot φ (h) ∥ h ∥ \to 0

bei

t \to 0

.
Also ist Nulloperator die Gateaux-Ableitung.

Wenn

f

Frechet-diffbar wäre, hätten nach Definition

f (h) - f (0) = f^{ʹ} (0) h + o (h)

bei

h \to 0

mit einem stetigen Operator

f^{ʹ} (0)

.
Da

f^{ʹ} (0)

stetig ist, ist es beschränkt und damit existiert ein

C > 0

, so dass

∥ f^{ʹ} (0) h ∥ \leq C ∥ h ∥

für alle

h

.

Also haben

f (h) - f (0) = ∥ h ∥ φ (h) = f^{ʹ} (0) h + o (h)

, daraus folgt

∣ φ (h) ∣ \cdot ∥ h ∥ \leq ∣ f^{ʹ} (0) h ∣ + ∣ o (h) ∣ \leq C ∥ h ∥ + ∣ o (h) ∣

.

Da

φ

nicht stetig ist, ist

φ

unbeschränkt. Damit existiert eine Folge

h_{n}

mit

φ (h_{n}) > n^{3}

und

∥ h_{n} ∥ = 1

für alle

n

.

Dann haben

h_{n} / n \to 0

, also haben

o (h_{n} / n) \to 0

und daher

∣ φ (h_{n} / n) ∣ \cdot ∥ h_{n} / n ∥ \leq C ∥ h_{n} / n ∥ + ∣ o (h_{n}) = C / n + o (h_{n}) \to 0

. Insbesondere ist

∣ φ (h_{n} / n) ∣ \cdot ∥ h_{n} / n ∥ = ∣ φ (h_{n}) ∣ \cdot ∥ h_{n} ∥ / n^{2} = ∣ φ (h_{n}) ∣ / n^{2}

beschränkt, womit

∣ φ (h_{n}) ∣ \leq B n^{2}

für ein fixes

B

gilt. Aber das ist ein Widerspruch zu

φ (h_{n}) > n^{3}

für alle

n

. Damit kann

f

nicht Frechet-diffbar sein.

pwmeyer aktiv_icon

17:40 Uhr, 05.06.2021

Hallo,

man kann die letzte Überlegung vereinfachen, wenn man zeigt / weiß, dass die F-Ableitung - wenn sie existiert - gleich der GAbleitung ist, hier also der Null-Operator. Dann braucht man nur noch feststellen, dass NICHT

f (h) = | | h | | φ (h) = o (| | h |)

Gruß pwm

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