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Gauß’schen Zahlenring Z[i],p ∈ Z eine Primzahl

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Abbildung, Algebra, faktorieller ring, Hauptidealring, Primelement, Primzahl, Ring, zeigen, Zerlegung

S-amalgh

21:15 Uhr, 26.11.2020

Wir rechnen im Gauß’schen Zahlenring

Z [i]

. Sei

p

∈

Z

eine Primzahl.

(a)

Zeigen Sie, dass

p

entweder ein Primelement in

Z [i]

ist, oder es Zahlen

a, b

∈

Z

gibt, so dass

p = a^{2} + b^{2}

gilt. Zeigen Sie, dass im zweiten Fall

p = (a +

ib)(a − ib) eine Zerlegung von

p

in Primelemente ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Abbildung

N : Z [i]

→

N : a +

bi →

a^{2} + b^{2},

und dass

Z [i]

faktoriell ist.

(b)

Zerlegen Sie die Zahlen

2, 3, 5

und

7 \in Z [i]

in Primelemente.

Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte? :-)

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

10:03 Uhr, 27.11.2020

Hallo,
sei

R := ℤ [i]

der Ring der ganzen Gauss-Zahlen und
bezeichne

\overline{x}

die konjugiert-komplexe Zahl zu

x \in R

.
Dann ist

N (x) = x \cdot \overline{x}

, also

N (x y) = (x y) \cdot \overline{(x y)} = x \cdot \overline{x} \cdot y \cdot \overline{y} = N (x) N (y)

,
d.h.

N

ist multiplikativ.
Ist nun

p

eine Primzahl, so folgt

N (p) = p \cdot \overline{p} = p^{2}

.
Wenn

p

R

kein Primelement ist,
gibt es

p_{1}, p_{2} \in R

mit

p = p_{1} \cdot p_{2}

,
wobei

p_{1}

und

p_{2}

keine Einheiten in

R

sind.
Kommst du damit schon weiter?
Gruß ermanus

S-amalgh

19:53 Uhr, 27.11.2020

Ganz ehrlich ich komme noch nicht damit weiter..
Also was soll ich jetzt genau zeigen?

ermanus aktiv_icon

20:02 Uhr, 27.11.2020

Wenn

p = p_{1} \cdot p_{2}

ist mit Nichteinheiten

p_{1}, p_{2}

.
Dann ergibt sich

p^{2} = N (p) = N (p_{1}) \cdot N (p_{2})

,
also

N (p_{1}) = p

. Es ist

p_{1} = a + b i

mit geeigneten

a, b \in Z

, also

p = N (p_{1}) = a^{2} + b^{2}

p_{1}

ist zudem prim; denn wäre

p_{1} = x \cdot y

mit
Nichteinheiten

x, y

, dann wäre

p = N (x) N (y)

...

S-amalgh

20:44 Uhr, 27.11.2020

Danke :-))
was soll ich jetzt machen?

ermanus aktiv_icon

20:51 Uhr, 27.11.2020

Du sollst in

p = N (x) N (y)

mit Nichteinheiten(!!!) einen Widerspruch erkennen:
aus

p = N (x) N (y)

folgt ja, dass

N (x)

und

N (y)

nichttriviale Teiler von

p

sind. Klar ist auch, dass die Norm einer Einheit

= 1

ist.

S-amalgh

20:58 Uhr, 27.11.2020

Alles klar danke sehr! :-))
Hast Idee für

b)

ermanus aktiv_icon

21:02 Uhr, 27.11.2020

Natürlich:
z.B.

2 = 1^{2} + 1^{2} = N (1 + i) = (1 + i) (1 - i)

,
aber

3

ist nicht Summe zweier Quadrate ...

S-amalgh

21:18 Uhr, 27.11.2020

5 = 2^{2} + 1^{2} = N (2 + i) = (2 + i)

(2−i) richtig oder?

ermanus aktiv_icon

21:19 Uhr, 27.11.2020

Ja :-)

S-amalgh

21:57 Uhr, 27.11.2020

wie kann ich jetzt 3 und 7 machen?

7 = 5 + 2 = N (2 + i) + N (1 + i) = (2 + i)

(2−i)

+

(1+i)(1−i) Kann man so lösen?

ermanus aktiv_icon

22:13 Uhr, 27.11.2020

Du hast den Sinn der Aufgabe nicht verstanden.
3 und 7 lassen sich nicht als Summe zweier Quadrate
schreiben, also sind sie in

R

Primelemente.
2 und 5 lassen sich so zerlegen, also sind sie selbst keine
Primlemente, sondern das Produkt zweier Primelemente.
Es gibt also Primzahlen, die auch in

R

prim bleiben und
andere Primzahlen, die in das Produkt zweier Primelemente
zerfallen.
Die Primelementzerlegungen sind also

2=(1+i)(1-i)
3=3
5=(2+i)(2-i)
7=7

S-amalgh

22:33 Uhr, 27.11.2020

Achso ich verstehe jetzt also ich soll einfach nur so schreiben und fertig

3 = 3, 7 = 7

Vielen Dank für deine Hilfe! :-))

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