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Gauß Algorithmus immer mit dem Additionsverfahren?

Schüler

Tags: Gauß Algorithmus

1537902 aktiv_icon

16:04 Uhr, 02.05.2013

Ich hab

' n

paar Aufgaben und der Lehrer meinte, dass man 3 Variablen immer mit dem Additionsverfahren rechnen soll. Stimmt das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

16:13 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

die Wahl des Verfahrens ist

m . E

. nur davon abhängig, welches Verfahren man selbst beherrscht und welche Struktur die Koeffizienten haben. Alle anderen Festlegungen der Marke "ab 3 Variablen" sind

m . E

. unsinnig!

Atlantik aktiv_icon

05:55 Uhr, 03.05.2013

Wenn du

z . B

. folgendes Gleichungssystem hast:

A) x + 2 y + 4 z = 8

B) 5 x - 3 y + 4 z = 9

C) 3 x + 6 y - 2 z = 2

Jetzt liegt es doch auf der Hand , dass du

A)

nach

x

auflöst und in die beiden anderen Gleichungen einsetzt, anstatt zeitaufwändig die Gleichungen ummodelst, um sie dann mit dem Additionsverfahren zu lösen.

mfG

Atlantik

Bummerang

07:03 Uhr, 03.05.2013

Hallo Atlantik,

"Jetzt liegt es doch auf der Hand , dass du

A)

nach

x

auflöst und in die beiden anderen Gleichungen einsetzt, anstatt ..."

Ich kann nur noch einmal wiederholen: "die Wahl des Verfahrens ist

m . E

. nur davon abhängig, welches Verfahren man selbst beherrscht und welche Struktur die Koeffizienten haben". Dein Beispiel ist für mich ein Klassiker für eine Mischung aus drei Verfahren:

Weil die Koeffizienten von

x

und

y \in C)

beide das Dreifache der Koeffizienten von

x

und

y \in A)

sind. beginne ich mit einem Gauss-Schritt, an dessen Ende ich bereits

z

erhalte. Das kann man eigentlich im Kopf machen (nur das Ergebnis wäre aufzuschreiben), es ergibt sich:

- 2 \cdot z - 3 \cdot 4 \cdot z = - 14 \cdot z = 2 - 3 \cdot 8 = - 22 \Leftrightarrow z = \frac{11}{7}

Als nächstes setze ich dies in die ersten Geichungen ein, auch das kann man eigentlich im Kopf machen und man notiert nur:

x + 2 \cdot y = \frac{56}{7} - \frac{44}{7} = \frac{12}{7}

5 \cdot x - 3 \cdot y = \frac{63}{7} - \frac{44}{7} = \frac{19}{7}

Wenn man nun die allgemeine Inverse einer

2 \times 2

Matrix, die keine Elemente enthält, die Null sind (sonst hätte man ja eine Dreiecks- oder gar Diagonalform und könnte anders weiterrechnen) und deren Determinante ungleich Null ist (sonst gäbe es die Inverse ja ncht) kennt, dann kann man ab hier auch mit Matrixmultiplikation fortfahren:

{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Als Lösungen für

x

und

y

ergeben sich hier somit:

\frac{1}{1 \cdot (- 3) - 2 \cdot 5} \cdot (\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ - 5 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{12}{7} \\ \frac{19}{7} \end{matrix})

= \frac{1}{- 13} \cdot (\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ - 5 & 1 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{7} \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 19 \end{matrix})

= - \frac{1}{91} \cdot (\begin{matrix} - 3 & - 2 \\ - 5 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 19 \end{matrix})

= - \frac{1}{91} \cdot (\begin{matrix} - 36 - 38 \\ - 60 + 19 \end{matrix})

= - \frac{1}{91} \cdot (\begin{matrix} - 74 \\ - 41 \end{matrix})

= \frac{1}{91} \cdot (\begin{matrix} 74 \\ 41 \end{matrix})

\Rightarrow x = \frac{74}{91}; y = \frac{41}{91}

Und was den Aufwand angeht, den Du ansprichst: Wenn man einen Gaussschritt macht, dann muss man das

5 -

bzw. 3-fache der ersten Zeile von den anderen beiden abziehen. Wenn man stattdessen das nach

x

umgestellte

A) i n B)

und

C)

einsetzt muss man beim Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der y-fachen, z-fachen und absoluten Zahlen genau die selben Rechnungen vollziehen. Man muss im "neuen"

B)

das 5-fache von 8 von der 9 abziehen, um die absoluten Glieder nach rechts zu bekommen. Man muss das 5-fache von

(- 2 \cdot y)

- 3 \cdot y

addieren und das 5-fache von

(- 4 \cdot z)

4 \cdot z

addieren. Und mit dem "neuen"

C)

ist es genau das selbe, nur mit dem 3-fachen. Sorry, das Argument mit dem Aufwand ist irgendwie nicht nachvollziehbar und

m . E

. auch nicht zutreffend.

Tine1 aktiv_icon

13:50 Uhr, 03.05.2013

Dass man immer mit dem Additionsverfahren rechnen soll, ist als Anweisung an dich nicht zu diskutieren. Er will dir das Gauss'sche Verfahren vermutlich näher bringen, damit du danach selbst in der Lage bist, einen Algorithmus für die Lösung eines linearen Gleichungssystem zu programmieren. Das ist doch eine gute Grundlage für deinen weiteren Lebensweg.

Als Allaussage ist die Behauptung deines Lehrers aber nicht zu akzeptieren, denn oft bieten sich Einsetzungs, Gleichsetzungs- und ...-Verfahren an, die handwerklich vorzuziehen sind.

Toleriere deinen Lehrer. Ich habe damit gute Erfharungen gemacht.

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