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Gauß-Klammer: Eigenschaften

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

 
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Clemensum

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15:33 Uhr, 11.03.2011

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Man beweise folgende Eigenschaften der Gaußklammer:
Es seien x,y∈ℝ,k∈ℤ
Man zeige für alle reellen Zahlen:
a) [x+k]=[x]+k
b) [x-y]=[x]-[y]

Zu a)
Ich setze in die Definition ein: [x+k]=max({l∈ℤ:l≤x+k})
Für die rechte Seite genauso: max({l∈ℤ:l≤x})+k

Mein Problem: ich weiß nicht, wie ich die Äquivalenz der beiden Ausdrücke einsehen soll; wie soll ich denn einen Summanden in eine Menge "hineinaddieren"??? Kann mir da jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

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20:55 Uhr, 11.03.2011

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Hallo,

seien A:={l∈ℤ∣l≤x+k}, B:={l∈ℤ∣l≤x}, m:=max(A), n:=max(B).

Du hast also zu zeigen: m=n+k

Wie bei Mengen zeigt man (in solchen Fällen) gern m≤n+k und n+k≤m

So, wenn ich noch mehr verrate, steht auch schon die Lösung da!

Mfg Michael
Clemensum

Clemensum aktiv_icon

21:30 Uhr, 14.03.2011

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Hallo Michal!

Danke für deine Antwort, doch lässt sich die Aufgabe nicht völlig lösen aufgrund folgendem:

m=max(A)⇒ I m≥x+k∀x,k∈A
n=max(a)⇒ II n≥x∀x∈B

⇒I+II⇔m-n=(x+k)-x⇔m-n≥k⇔m≥n+k

Dass m≤n+k sein soll, weiß ich nicht woher ich dies folgern soll. Ich habe da schon alles probiert, komme immer nur auf ≥.

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich die andere unechte Ungleichheit erschließen kann?

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:40 Uhr, 16.03.2011

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Hallo,

sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber vorher war einfach keine Gelegenheit.

So, vielleicht hilft es dir, die Menge A umzuschreiben, d.h. zu beweisen, dass A={l∈ℤ∣l-k≤x}. Dann weiter mit den Maxima. Zeige, dass diese auch obere Schranken der jeweils anderen Mengen sind. Daraus folgen dann jeweils die Ungleichungen!

Mfg Michael
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