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Gauß Matrix

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Polynome

Tags: polynom

 
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ASdfg134

ASdfg134 aktiv_icon

20:19 Uhr, 07.12.2022

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Gegeben sei die (m x n) Matrix Ma=\beginpmatrix
5 &3 &6 &8 \\
6 &3 &1 &6 \\
1 &2 &7 &4 \\
2 &2 &2 &2
\end{pmatrix}
und die Abbildung FA:xMA*x

a)Geben Sie für die Abbildung an, von welchem Vektorraum R^r
zu welchem
Vektorraum R^s
sie abbildet!

Also was ist den der Vektorraum R^r und R^s ?
Vielleicht kann mir da jemand helfen
Also was ein Vektorraum ist ist mir ja soweit bewusst

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Punov

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20:36 Uhr, 07.12.2022

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Hallo, ASdfg134!

Ist dein Problem, passende r,s zu wählen?

Deine Matrix ist eine (4×4)-Matrix und xr, ist also ein Vektor bzw. eine (r×1)-Matrix: Wie muss dann r gewählt werden, damit die Multiplikation MAx funktioniert? Und für welches s gilt dann MAxs?

Oder ist dir nicht klar, dass n für n hinsichtlich Vektoraddition und skalarer Multiplikation ein Vektorraum ist?

Viele Grüße
ASdfg134

ASdfg134 aktiv_icon

21:39 Uhr, 07.12.2022

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Hallo Punov!

Also ich habe meine Frage sehr missverständlich formuliert!
Also das passende r und s ist meine Frage.

Ich versuche da jetzt mal so ranzugehen

MA ist eine 4x4 Matrix
Das heißt der Vektorraum ist dann R4 oder eine R(4x4) Matrix ? Wenn es diesen Ausdruck überhaupt gibt.

Wenn man jetzt sich das x definiert hat das den Vektor eine (4 x 1) Matrix damit ist dann im Vektorraum R4?

Wenn man die Matrizen Multipliziert hätte man dann auch eine 4 x 1 matrix?

also irgendwie sind da noch ein ppaar Fragezeichen in meinem Kopf vielleicht kannst du Sie ordnen!
Viele Grüße

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Punov

Punov aktiv_icon

22:05 Uhr, 07.12.2022

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Hallo,

ich kann es gerne versuchen. :-)

Wie du schon sagst gilt MA4×4, also in der Menge der reellen Matrizen der Größe 4×4.

Du kannst diese Matrix von rechts nur mit einem Vektor xr multiplizieren, wenn r=4 ist und was du bekommst ist in deinem Fall

fA(x)=MAx=(5368631612742222)(x1x2x3x4)=(5x1+3x2+6x3+846x1+3x2+x3+6x4x1+2x2+7x3+4x42x1+2x2+2x3+2x4)

und der Ausdruck ganz rechts ist wieder ein Vektor in 4.

Also s=r=4.

--

Allgemein gilt:

Ist As×r, dann bildet die durch f:xAx definierte lineare Abbildung von r nach s ab. Und umgekehrt lässt sich jede lineare Abbildung von r nach s so mit einer geeigneten Matrix darstellen.


Viele Grüße
ASdfg134

ASdfg134 aktiv_icon

21:22 Uhr, 08.12.2022

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Hallo Punov,

Erstmal vielen Lieben Dank.

Ich habe jetzt aber einmal noch eine Rückfrage mal angenommen man hat eine 5 x 4 Matrix

also 5 dimensional

dann wäre der Vektorraum R5x4
multipliziert man dann noch das x daran bleibt der Vektorraum dann auch 5 D also r=s=5?

Also meine Frage nochmal anders formuliert
was passiert wenn die Matrix nicht die selbe Anzahl Spalten wie Zeilen hat gibt da was besonderes zu beachten.?

Viele Grüße

Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

22:20 Uhr, 08.12.2022

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Hallo!

Wenn die Matrix nicht quadratisch ist, also Am×n mit mn, dann bildet die lineare Abbildung f(x)=Ax von n nach m ab.
Auch hier kann man sich das anhand der Dimensionen von A und x klar machen, die passen müssen, damit die Multiplikation Ax überhaupt funktionieren kann.

Du kannst eine (m×n)-Matrix nur mit einem (reellen) Vektor x multiplizieren, wenn dieser aus n stammt, und das Produkt Ax ist dann ein Vektor in m.

Viele Grüße
ASdfg134

ASdfg134 aktiv_icon

20:14 Uhr, 09.12.2022

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Nehmen wir mal an wir haben eine mxn Matrix in diesem Fall 3 x 6 Matirx
MT=(147391256521396156)
Dann hätte man den Vektor (x1x2x3x4x5x6)

Also stammt der Vektor aus dem Rn in dem Fall R6 und der Bildet da der Rm=3 ist ins R3 ab ist das jetzt soweit korrekt?

Es fühlt sich irgendwie falsch an!

Viele Grüße
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Punov

Punov aktiv_icon

11:36 Uhr, 11.12.2022

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Hallo,

ja, das stimmt:

(147391256521396159)(x1x2x3x4x5x6)=(x1+4x2+7x3+3x4+9x5+x62x1+5x2+6x3+5x4+2x5+x63x1+9x2+6x3+x4+5x5+9x6)3


Viele Grüße
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