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Gauß-Verfahren mit Spalten/Zeilen einer Matrix
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hallo zusammen, und zwar möchte ich bei einer Matrix den Rang berechnen. Wenn ich beispielsweise diese 4 Vektoren gegeben habe: und So jetzt kann ich ja praktisch diese Vektoren als Spalten in einer Matrix auffassen, also: Zweite Möglichkeit ist, dass ich diese als Zeilen auffasse: Als Rang bekomm ich bei beiden Matrizen 2 raus, aber die Vektoren die übrig bleiben sind komplett verschieden. Darf ich die Vekoren nicht als Zeilen bzw. Spalten auffassen, bzw. was bekomme ich raus, wenn ich es tue? Gibt es eine Möglichkeit auf beide Arten dasselbe herauszubekommen? Liebe Grüße und vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Egal ob du den Gauß auf die Zeilen oder auf die Spalten anwendest, du wirst immer den gleichen Rang heruasbekommen. Es gilt Zeilenrang gleich Spaltenrang. Die Zeilen die du herausbekommst, müssen nicht gleich sein. Allerdings können sie unter Umständen noch nützliche Informationen liefern. Praktisch macht es zum Beispiel dann eine Unterschied, wenn du annimmst deine 4 Vektoren spannen einen Untervektorraum auf und du möchtest die Dimension sowie eine Basis von diesem bestimmen. Wenn man die Vektoren als als Spalten stehen lässt bekommt man durch Gauß nur die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren herraus. Schreibt man sie allerdings als Zeilen, so bekommt man zusätzlich zur Anzahl der Basisvektoren auch noch eine explizite Basis von der Untervektorraum. Das sind nämlich dann die Vektoren die beim Gauß noch stehen bleiben, da die übrigen, linear abhängigen Vektoren durch den Gauß eliminiert werden. |
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Erstmal danke für die schnelle Antwort, genau darauf wollte ich hinaus :-) Nur den allerletzten Teil deiner Antwort habe ich nicht ganz verstanden. Also wenn ich die Spalten-Matrix auf Zeilen-Stufen-Form bringe, erhalte ich: Wenn ich die Zeilen-Matrix in Zeilen-Stufen-Form bringe, erhalte ich: So die Dimension des Bildes kann man sofort ablesen (anhand des Ranges). Welche Vektoren davon bilden denn jetzt eine Basis des Bildes? Und was hast du mit "explizite Basis" eines Untervektorraums genau gemeint? |
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Also willst du einfach nur eine Basis finden für das Bild, dann kannst du einfach die ersten 2 Vektoren nehmen, da diese linear unabhängig sind, da diese zwei Spalten Pivotspalten sind. also sind und eine Basis für das Bild. Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das nicht deine Frage war? |
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Die ersten beiden Zeilen der zweiten Matrix bilden eine Basis. Kannst das ja mal nachrechnen. Jeder deiner 4 Anfangsvektoren lässt sich als eine Kombination dieser beiden darstellen. Wenn man rausbekommt, dass man zwei Baisivektoren braucht, dann kann man sich natürlich durch hinschauen eine Basis aussuchen. Mach das allerdings mal bei 6 Vektoren, von denen 4 eine Basis bilden. Da dann so auf anhieb 4 richtige auszusuchen ist etwas schwieriger. Am Gauß kann man dann ganz einfach 4 ablesen, bekommt diese also mal so nebenbei. |
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Also die Basis aus dem Span der oben gegebenen Vektoren ist also: und Wofür brauche ich denn dann die erste Matrix oder was gibt die mir an? |
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Wenn du die Vektoren in eine Matrix einbettest und dann den Gaussalgorithmus anwendest, siehst du, welche Spalten linear unabhängig sind. Das sind jeweils alle Spalten, bei denen du ein Pivotelement wählen kannst (oder etwas vereinfacht ausgedrückt: alle Spalten, die keine in der Diagonale haben). Du kannst dann genau diese Spalten bei den ursprünglichen Vektoren nehmen, diese sind dann linear unabhängig, und bilden eine Basis, denn das ganze System der Vektoren war erzeugend für das Bild. |
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Bei einer linearen Abbildung kann man mit der eine Basis des Kerns ausrechnen. |
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@student: Bist du dir bei deinem Vorgehen sicher?
Was würdest du denn hierbei rausbekommen: ? Wenn ich dich richtig verstanden habe würde ich nur den ersten Vektor nehmen. |
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Das mit der Diagonale meinte ich vereinfachend.. Da du den Rang der Matrix schon bestimmt hast, gehe ich davon aus, dass dir Pivotelement etwas sagt? Du wendest ja den Gaussalgorithmus an, und musst eigentlich in jeder Zeile ein Pivotelement finden, wenn es sich um eine reguläre Matrix handelt, findest du in jeder Zeile ein Pivotelement, dann sind alle linear unabhängig. In deinem zweiten Beispiel kannst du auf diese Matrix wieder den Gauss anwenden, du erhältst genau diese Matrix wieder. Du siehst hier, dass du die 1 aus der ersten Spalte und die 1 aus der dritten Spalte als Pivot wählen kannst, in der zweiten Spalten konntest du kein Pivotelement wählen, da dort alle Elemente=0 sind. Du hast somit die erste und die letzte Spalte linear unabhängig, diese sind dann eine Basis für das Bild. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, was deine Aufgabe genau ist.. Musst du von verschiedenen Vektoren bestimmen, ob diese linear unabhängig oder eine Basis sind? Oder geht es um lineare Abbildungen und du musst eine Basis für das Bild bestimmen? |
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oh, ich habe bei meiner Antwort nicht realisiert, dass du dapso die Frage gestellt hast und nicht exelent, sorry.. aber ich meinte das mit der Diagonale wirklich nur vereinfachend. Es geht um die Wahl des Pivotelements... |
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Ok. Es ging mir nur um das mit der Diagonalen was vielleicht etwas falsch rüberkommen kann. |
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da hast du absolut recht, dapso.. tut mir leid, exelent, falls ich dir verwirrt haben sollte.. |
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Irgendwie habe ich das Gefühl, dass es bei der Aufgabenstellung aber gar nicht um lineare Abbildungen ging. Es geht nur darum, zu bestimmen, ob die Vektoren eine Basis bilden, oder? Du erhältst nur dann eine Basis, falls die Matrix quadratisch ist, und du den Rang erhältst. Dann hast du eine Basis. Bei deinem ersten Beispiel erhältst du Rang was bedeutet, dass du 2 linear unabhängige Vektoren hast, die sind aber nicht erzeugend.. (sie sind nur für das Bild der linearen Abbildung durch die Matrix beschrieben eine Basis). |
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So, also ich versuche meine Fragestellung nochmal etwas ausführlicher und allgemeiner zu formulieren, vielleicht wird es dann ein bisschen deutlicher. So, also die ursprüngliche Aufgabenstellung lautete: Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von span . Die 4 Vektoren habe ich oben aufgelistet. Damit ich den Rang herausbekomme, kann ich diese ja in eine Matrix 'umwandeln' und in Zeilenstufenform bringen. Man kann diese Vektoren aber auf zwei Arten in die Matrix einbetten, zum einen als Spalten (siehe 2. Matrix im 1. Post) oder als Zeilen (siehe 3. Matrix im 1. Post). Ich habe jetzt so weit verstanden, dass es beim Rang keinen Unterschied macht, welche der beiden Formen ich dabei nehme (wegen Zeilenrang=Spaltenrang). So, jetzt habe ich hier zwei verschiedene Matrizen in Zeilen-Stufen-Form stehen: und Was kann ich jetzt mit diesen beiden Matrizen anfangen? Also dapso schrieb gerade schon, dass, wenn man bei der rechten Matrix die Zeilen als Vektoren erfasst, eine Basis der 4 Vektoren erhält. Was bekomme ich denn, wenn ich die Spalten als Vektoren auffasse (bzw. gibts das überhaupt?) Und die andere Frage würde sich dann auf die linke Matrix beziehen: Was habe ich, wenn ich die Zeilen/Spalten als Vektoren auffasse? War jetzt leider etwas ausführlicher, aber ich hoffe, es ist jetzt ein bisschen deutlicher geworden, was ich nicht ganz verstehe. Piviotelement sagt mir leider gar nichts, es kann sein, dass es noch dran kommt bei uns, bin mir da aber nicht so ganz sicher. |
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Kann mir keiner helfen? Oder ist meine Fragestellung unverständlich formuliert? |
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Wenn du bei Gauss ein Vielfaches einer Zeile addierst, dann wählst du dieses Vielfache so, dass du eine Null in der vordersten Spalte bekommst (im ersten Schritt). Das entsprechende Element, nach dem du auflöst ist das Pivotelement also: Wenn du hier Gauss anwendest, möchtest du an der Stelle der 4 eine 0 bekommen. Dazu musst du das -4-fache der oberen Gleichung addieren. Immer wenn du diese Zahl bestimmst dem Falle 4 (oder je nachdem wie dus anschaust)), ist die andere Zahl das Pivotelement. Also hier wäre 1 das Pivotelement.. Wenn du . Hier hättest du am SChluss 3 Pivotelemente, und Hier hast du 2 Pivotelemnte: Hier hast du 3 Pivotelemente, und 4. Am Schluss, wenn du Zeilenstufenform hast, erhältst du in den ersten Zeilen ein Pivotelement (das letzte nicht vergessen..) ist der Rang). Die Anzahl Pivotelemente entsprechen dem Rang der Matrix.. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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