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Gaußalgorithmus mit Restklassenkörper

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Gauß Algorithmus, Matrizenrechnung

TheMole55 aktiv_icon

11:06 Uhr, 17.02.2020

Hi.
Ich habe eine Frage zu der unten stehenden Aufgabe.

Da man sich ja in

{(ℤ_{3})}^{4}

befindet, lässt sich die Matrix umschreiben in:

(\begin{matrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Wenn ich dies nun versuche als LGS zu lösen komme ich auf:

((\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}))

Damit wäre nun

x_{4}

und

x_{3}

beliebig, aber

x_{4}

hat aufgrund der letzen Spalte keinen Einfluss auf die Lösung. Damit ist nur

x_{3}

beliebig

t \in ℝ

.

Somit komme ich auf die Lösung

x = (0, 1 + t, t, 0)

Wenn ich aber die Restklassen

[0], [1]

und

[2]

für

t

einsetze, ist diese Gleichung nur für

[0]

erfüllt.

Entweder habe ich einen kritischen Denkefehler oder einen inhaltlichen, welchen ich selber nicht sehe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

11:47 Uhr, 17.02.2020

Hallo,
deine Argumentation bzgl.

x_{4}

ist falsch. Gerade weil

x_{4}

keinen
Beschränkungen unterliegt, kann man beliebige Vielfache von

(0, 0, 0, 1)^{T}

zu einer Lösung addieren und erhält wieder eine Lösung.
Aber irgendwie stimmt auch dein

x_{1}

nicht. <-- nun korrigiert
Hier zum Vergleich meine Lösung:

{(0, 1, 0, 0)^{T} + t \cdot (2, 1, 1, 0)^{T} + s \cdot (0, 0, 0, 1)^{T} ∣ s, t \in Z_{3}}

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:51 Uhr, 17.02.2020

Habe meinen Text korrigiert!

TheMole55 aktiv_icon

12:14 Uhr, 17.02.2020

Also ich habe es auch nochmal versucht zu lösen. Ich komme auf ein ähnliches Ergebniss, aber leider nicht zum gleichen.

x_{4}

beliebig

t \in ℝ

x_{3}

beliebig

s \in ℝ

dann ergibt sich für

x_{2} = 2 + s

und für

x_{1}

x_{1} + 4 s = 2

x_{1} = 1 + 2 s

Also insgesamt

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

ermanus aktiv_icon

12:26 Uhr, 17.02.2020

Dann müsste doch

(1, 2, 0, 0)^{T}

ein Lösungsvektor sein ...

TheMole55 aktiv_icon

12:59 Uhr, 17.02.2020

Da hast du recht. Allerdings weiß ich gerade nicht wo ich einen Fehler eingeschoben haben sollte. Falls du die Ausgangsmatrix selber noch mit der Bed

ℤ_{3}

umgeformt haben solltest, bist du auf die Gleiche Matrix gekommen?

ermanus aktiv_icon

13:09 Uhr, 17.02.2020

Ja, die umgeformte Matrix ist OK.

TheMole55 aktiv_icon

13:21 Uhr, 17.02.2020

Dann schreib ich hier nochmal meine Rechenschritte auf, auch wenn zumindest ein Teil schon weiter oben steht.

(\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 0 & | 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \end{matrix})

wähle

x_{4}

beliebig

t \in ℝ

wähle

x_{3}

beliebig

s \in ℝ

x_{2} + 2 s = 2

x_{2} = 2 + s

x_{2}

einsetzen in erste Gleichung:

x_{1} + 2 (2 + s) + 2 s = 2

x_{1} + 1 + 1 s = 2

x_{1} + 1 s = 1

x_{1} = 1 + 2 s

Da fällt mir auf, dass mein Ergebnis eher so lauten sollte.

So bin ich auf das Ergebnis gekommen. Bestimmt ist irgendwo ein total "nicht schöner" Fehler, den ich aber gerade einfach selber nicht sehe.

TheMole55 aktiv_icon

13:24 Uhr, 17.02.2020

hab es kurz nochmal überarbeitet und vergessen die eine zeile kurz vor ende zu löschen sry
Also die hier " Da fällt mir auf, dass mein Ergebnis eher so lauten sollte."

ermanus aktiv_icon

13:26 Uhr, 17.02.2020

Ah! Ich glaube, ich habe deinen Fehler gefunden :-)
Die zweite Zeile deiner hier benutzten Matrix stimmt in der

b

-Vektorkoordinate
nicht mit deiner umgeformten Matrix überein.

TheMole55 aktiv_icon

13:28 Uhr, 17.02.2020

Danke ich habe es auch gerade gesehen

: (

Ich sollte mich zusammenreißen wenn ich sowas in der Klausur vermeiden will.
Dir trotzdem vielen Dank.

ermanus aktiv_icon

13:36 Uhr, 17.02.2020

In der Klausur wirst du sicher einen kühlen Kopf bewahren ;-)
Bitte hake die Aufgabe ab ...

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