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Gaussche Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

HP345 aktiv_icon

13:10 Uhr, 19.11.2016

wunderschönen tag an alle :-)

Ich soll die Teilmeng

M

von C(komplexe Zahlen) und das Bild

F (M)

in die Gaußsche Zahlenebene zeichnen. Die Abbildung ist

F :

{

\to

{

0} mit

F (z) = \frac{1}{z}

(i)

M:=R\

{

0}
(ii) M:=iR\

{

0}
(iii)

M := {z : | u | = r}

Die Mengen

(i)

ist ja einfach die Reele Achse und (ii) die Imaginäreachse. Nur wie zeichne in die Abbildung in die Gaußsche Zahlenebene? Entspricht (i)

f (x) = \frac{1}{x}

?
Bei (iii) habe ich gar keine Vorstellung
Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ermanus aktiv_icon

14:15 Uhr, 19.11.2016

Hallo HP345,
Du sollst gar nicht die Abbildung skizzieren, sondern die Menge der
Bildpunkte, z.B. in (i) hast Du ja richtig gesehen, dass das die "übliche"
relle Funktion

x \to \frac{1}{x}

ist, und deren Bildmenge kennst Du doch.
Es wird nur gefragt, welche Bildmengen entstehen ...

Bei (iii): muss es da nicht statt

u

eher

z

heißen? So gibt es ja sonst keinen
Sinn.

HP345 aktiv_icon

14:28 Uhr, 19.11.2016

Ja, es muss

z

statt

u

heißen, da bin ich eine Taste ausgerutscht. Die Aufgabenstellung lautet konkret: Zeichnen Sie

M \subset C

und das Bild

F (M)

in der Gaußschen Zahlenebene.
Bei

(i)

wäre die Menge

M

ja die reele Achse und

F (M) = \frac{1}{R},

Wobei ja für

\frac{1}{1} = 1, \frac{1}{2} = 2

etc. rauskommen würde. Also Müsste ich bei Re(1) Im(1) einzeichen und Re(1/2) Im(2) ?

ermanus aktiv_icon

14:58 Uhr, 19.11.2016

Ich habe keine Ahnung, wo in (i) Deine Imaginärteile Im() herkommen,

F (x) = \frac{1}{x}

macht doch aus Deinen reellen

x

nur wieder reelle

\frac{1}{x}

,
d.h. es muss doch dann

F (M) \subseteq M

sein, d.h. die reelle Achse
ohne den Nullpunkt wird in die reelle Achse ohne den Nullpunkt abgebildet. Da bleibt doch nur
noch die Frage, ob nicht sogar

F (M) = M

ist ...

HP345 aktiv_icon

15:06 Uhr, 19.11.2016

D . h

. die Menge

M = F (M)

? (Die reele Achse ohne

0)

Und bei (ii) gibt es ja keinen Realteil,

d . h

F (M)

ist die imaginäre Achse? Und wie sieht das bei (iii) aus?

\frac{1}{| z |}

ist ja immer positiv und

z

ist eine komplexe Zahl. Darauf folgt ja eigentlich, dass Bild im 1. Quadranten befindet (wenn es sowas bei der Gaußschen Zahlenebene gibt). Oder nicht?
Grüße

rundblick aktiv_icon

15:49 Uhr, 19.11.2016

.
"Ich soll die Teilmeng

M

von C(komplexe Zahlen)
und das Bild

F (M)

in die Gaußsche Zahlenebene zeichnen."

Vorschlag:
lege zwei Gaußsche Zahlenebenen nebeneinander
z-Ebene = Urbild-Ebene
w-Ebene = Bild-Ebene

F (z) = w = \frac{1}{z} ... ... ... ... ... ... ... . .

(0,0)

ausgenommen..

\to

"zeichnen"

\to

zur ersten Abbildung : male grün die

\to

reelle Achse in der z-Ebene
die Punkte auf dieser Achse werden durch

F

insgesamt
WIEDER auf die reelle Achse der w-Ebene (rot) abgebildet, ABER sie ändern fast alle den Ort)

es gibt zwei Fixpunkte (welche?)
die Bilder der z-Punkte zB zwischen

(0,0)

und

(1,0)

gehen auf die w-Punkte rechts von

(1,0)

und umgekehrt ..
usw, usw ..

versuche dir nun klarzumachen, wie die Sachlage bei den anderen Beispielen liegt..

.

ermanus aktiv_icon

16:14 Uhr, 19.11.2016

Nach rundblicks für Dich sehr nützlichem Vorschlag noch ein kleiner Tipp:
(iii) ist wohl ein Kreis mit einem gewissen Radius ???

HP345 aktiv_icon

16:34 Uhr, 19.11.2016

(ii) folgt ja analog zu

(i),

die Urbilder befinden sich auf der imaginären Achse und werden durch

F (

in "anderer Reihenfolge") auf die imaginäre Achse der Bild-Ebene abgebildet.
zu (iii): Der Radius sollte ja dem Betrag von

z

entsprechen, also

\sqrt{a^{2} + b^{2}},

aber wie lässt sich das auf die gaußsche Ebene übertragen?

ermanus aktiv_icon

17:38 Uhr, 19.11.2016

Verstehe gerade Dein Problem nicht ...

∣ z ∣ = r \Rightarrow ∣ F (z) ∣ = ∣ \frac{1}{z} ∣ = \frac{1}{∣ z ∣} = \frac{1}{r}

.
Das ist doch wohl ein Kreis mit dem Radius

\frac{1}{r}

, oder ?

rundblick aktiv_icon

18:46 Uhr, 19.11.2016

| z | = r

".. aber wie lässt sich das auf die gaußsche Ebene übertragen?"

nun: Beträge sind Abstände

\to | z | = r .

. zeichnen in

C

bedeutet:
nimm einen Zirkel (das ist ein Ding zum Durchdrehen) und
zeichne damit einen Kreis mit Radius

r

um den Nullpunkt.
(Beispiel : nimm

r = 5

oder so)
Auf dem Rand dieses Kreises liegen dann in

C

alle Punkte

z = (x, y) = x + i y,

die vom Punkt

(0,0)

den Abstand

r

Einheiten haben ..
wo ist da noch ein Problem?

Vorschlag zur Abbildung des Kreises

| z | = r

von der z-Ebene in die w-Ebene

\to

F (z) = w = \frac{1}{z}

w = \frac{1}{z} . . \Rightarrow .

z = \frac{1}{w} .

. und:..

\bar{z} = \frac{1}{\bar{w}}

| z | = r .

\Rightarrow .

z \cdot \bar{z} = r^{2}

eingesetzt

\Rightarrow .

\frac{1}{w} \cdot \frac{1}{\bar{w}} = r^{2}

\to \frac{1}{w \cdot (\bar{w})} = r^{2}

also

\to w \cdot \bar{w} = \frac{1}{r^{2}}

\Rightarrow .

{| w |}^{2} = \frac{1}{r^{2}}

\Rightarrow .

| w | = \frac{1}{r} = r'

Interpretation:

\to

Kreise in der z-Ebene um

(0,0)

werden auf Kreise in der w-Ebene um

(0,0)

abgebildet

\to

der Einheitskreis EK wird auf sich abgebildet

(| z | = 1

ist "Fixkreis" - aber kein FixpunktKreis)

\to

Kreise mit

r > 1

(Punkte also ausserhalb des EK)
werden auf Kreise IM EK (also mit

r' < 1)

abgebildet

. . u . u

.

usw..
Fazit: die Abbildung

F

ist "kreistreu"
.

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