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Gaußklammer

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Tags: Ungleichung beweisen

 
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12:39 Uhr, 24.10.2016

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hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Zu einer beliebigen rationalen Zahl r wird ihre sog. GAUSS-Klammer [r] als die größte ganze Zahl z mit z ≤ r definiert: [r] Def.= max{z ∈Z| z ≤ r}.
Anschaulich (und mathematisch vage) ausgedrückt, hat die GAUSS’sche Klammer bei einer Zahl r ≥ 0 die Wirkung, dass in ihrer Dezimaldarstellung die Stellen nach dem Komma abgeschnitten werden – ohne zu runden.

Zeigen Sie für jede rationale Zahl r:

[r]≤r≤[r]+1
|r-[r]|≤1

Hat jemand einen Ansatz für mich? Ich blicke grade nicht so durch.

LG





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

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12:50 Uhr, 24.10.2016

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Hallo
du musst einfach nur die Definition der Grussklammer benutzen, für beide Teile der Ungleichung.
Gruß ledum
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13:16 Uhr, 24.10.2016

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@ledum

meinst du das so?

für Teil 1:

[r]=k≤r für k∈ℤ

⇒[r]≤r

?
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ledum

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13:19 Uhr, 24.10.2016

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Hallo
da du k nicht definiert hast is das kein Beweis.
Gruß ledum
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13:32 Uhr, 24.10.2016

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@ledum

ok

[r]:=max{k∈ℤ|k≤r}

⇒[r]≤r

und daraus folgt

⇒[r]+1≥r

stimmt das so?

LG
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ledum

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01:58 Uhr, 25.10.2016

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der erste Teil stimmt wieso folgt daraus der zweite?
Gruß ledum
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07:05 Uhr, 25.10.2016

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@ledum

stimmt. Ich hätte noch diese Idee:

wenn: [r]+1≤r

dann wäre k+1≤r

und das wäre ein Widerspruch zur Definition. Stimmt das so?



Zum anderen Aufgabenteil hab ich folgenden Ansatz:

zu zeigen:   |r-[r]|≤1

Fallunterscheidung:

|r-[r]|:={(r-[r]) für (r-[r])≥0   und   -(r-[r]) für (r-[r])<0}

1.Fall

r-[r]≥0  =r≥[r]

2.Fall

r-[r]<0  =r<[r]

Der 2. Fall kann aufgrund der Definition der Gaußklammer ausgeschlossen werden.

Zusammenfassend gilt:

|r-[r]|=r-[r] für r≥[r]

Für r≥[r] gilt

r-[r]≤1

=r-[r]+[r]≤1+[r]

=r≤1+[r]   was in Teil 1 schon bewiesen wurde.


Stimmt das so einigermaßen?

LG
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ledum

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19:34 Uhr, 25.10.2016

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Hallo
der 'Widerspruch ist ok
dann aber einfacher
wegen [r]≤r ist [r}-r<0 also r-[r]>0 also |r-[r]|=r-[r]≤1
denn aus r≤[r]+1 folgt damit r-[r]<1 die Behauptung.
d,h, du solltest nicht erst eine Fallunterscheidung machen
Gruß ledum
Frage beantwortet
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20:43 Uhr, 25.10.2016

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@ledum

Vielen Dank für die gute Hilfe.

LG