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Gaußklammer beweis
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Analysis, MATH, Sonstig
 
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Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung x·x]=87, wobei die Gaußklammer von bezeichne. Geben Sie außerdem eine Zahl ∈ an, sodass x·x]= keine Lösung besitzt und beweisen Sie Ihre Behauptung. Kann jemand bitte helfen habe keine Ahnung, wie man diese Aufgabe bearbeitet Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Es ist , dementsprechend folgt aus deiner Gleichung . Löst man die auf, bekommt man zwei Intervalle mit insgesamt drei möglichen Kandidaten für . Die probiert man alle drei via durch und prüft, ob die erhaltenen auch tatsächlich zum jeweiligen Ausgangspunkt passen. b) ist nicht ohne, denn es sind überhaupt die reellen Zahlen sehr dünn gesäht, für die es KEIN reelles mit gibt. Aber es gibt sie, und sie sind sämtlich natürlich! :-) |
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Hallo, es ist . (Ich finde die Schreibweise besser als .) Damit gilt: . Ich kann also schreiben: mit (zunächst einmal!) und . ist dann sehr in der Nähe einer Quadratzahl (da ist mir 81 ins Auge gefallen.) Dann ist es doch anzunehmen, dass gelten könnte. Demnach wäre . Die Probe gibt mir recht. Wir hätten dann . Leider können wir bei den negativen Zahlen nicht genau so argumentieren. Es gilt und nicht gleich analog zum positiven Fall. Hier suchen wir also nicht Quadratzahlen sondern das Doppelte von Dreieckszahlen: . Die nächstgelegene solche Zahl in der Nähe von 87 ist . Der Abstand zu 83 beträgt 11, was aber größer ist als die Beträge jeder der beiden möglichen Nenner, sodass es keine negative Lösung geben kann. Ich hoffe, nichts übersehen zu haben. Verdaue doch dies erst einmal, dann sehen wir, für welche Zahl es keine Lösung geben kann. Mfg Michael Edit: Ergebnis angepasst. |
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Vielen Dank, ich verstehe nicht ganz deinen ersten Ansatz, wie ist . könntest du dies noch etwas genauer erklären? |
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und woher weiß ich das in der Nähe einer Quadratwurzel sein muss? |
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Man verschafft sich am besten mal zunächst einen Überblick über den Verlauf der Funktion (vielleicht auch durch Betrachtung des Funktionsgraphen): Für ist sie streng monoton fallend, bis hin zu . Sie verharrt bei Wert 0 für alle , um dann für streng monoton zu wachsen. Dabei ist festzustellen, dass die Funktion an allen ganzzahligen Stellen außer 0 unstetig ist, d.h. dort Sprünge aufweist. Das im Hinterkopf nun zur allgemeinen Lösung von für gegebenes : Man berechnet zunächst . 1) Ist , dann ist die einzige positive Lösung, wegen und gibt es keine negative Lösung. 2) Ist , so ist die einzige negative Lösung, wegen und gibt es keine positive Lösung. 3) Ist , so hat man die zwei Lösungen und . Wer aufmerksam mitverfolgt hat wird feststellen, dass ein Fall in der Aufzählung fehlt: 4) Ist , so gibt es keine reelle Lösung . Abrundend sein noch hinzugefügt, dass für das gesamte Intervall Lösungsmenge ist, und es für keine Lösungen gibt - aber das dürfte bei dem oben skizzierten Funktionsverlauf klar sein. |
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ah, jetzt habe ich die einzelnen Schritte verstanden. Hat jemand eine Idee für die Lösung von damit keine Lösung raus kommt? |
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Hallo, > Hat jemand eine Idee für die Lösung von damit keine Lösung raus kommt? Ich bewundere zweierlei: 1. Deine Art, dich auszudrücken. 2. Deine Fähigkeit, die dir zur Hilfe gegebenen Antworten sinnverstehend zu lesen. HAL9000 schrieb: >> Wer aufmerksam mitverfolgt hat wird feststellen, dass ein Fall in der Aufzählung fehlt: >> >> 4) Ist y=n(n+1), so gibt es keine reelle Lösung x. Mfg Michael |
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Vielen Dank |
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